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1.若，則的周期是＿＿＿＿；2.若，則的周期是＿＿＿＿；

3. 若，則的周期是＿＿＿＿；

4.若是偶函數，且圖象關于對稱，則的周期是＿＿＿＿；

★★★ 突 破 重 難 點

【范例1】設函數定義在R上，對于任意實數，總有，且當時，。（1）證明：，且時

（2）證明：函數在R上單調遞減

（3）設，若，確定的取值范圍。

（1）解：令，則，對于任意實數恒成立，

設，則，由得，

當時，  當時, ,

（2）證法一：設，則，

,函數為減函數

證法二：設，則

=

,

故    ,函數為減函數

（3）解：∵，  ∴

若，則圓心到直線的距離應滿足，解之得

，

變式：已知定義在R上的函數滿足：，當x＜0時，。

    （1）求證：為奇函數；（2）求證：為R上的增函數；

    （3）解關于x的不等式：。（其中且a為常數）

解：（1）由，令，得：

    ，即

    再令，即，得：

    是奇函數………………4分

    （2）設，且，則

    由已知得：

    即在R上是增函數………………8分

    （3）

    即

    當，即時，不等式解集為

    當，即時，不等式解集為

    當，即時，不等式解集為………………13分

【范例2】已知f(x)=(x∈R)在區間[－1，1]上是增函數.，（1）求實數a的值組成的集合A；

（2）設關于x的方程f(x)=的兩個非零實根為x₁、x₂.試問：是否存在實數m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由.

解：（1）f＇(x)== ，

∵f(x)在[－1，1]上是增函數，

∴f＇(x)≥0對x∈[－1，1]恒成立，

即x²－ax－2≤0對x∈[－1，1]恒成立.        ①

設j (x)=x²－ax－2，

①

          －1≤a≤1，

  ∵對x∈[－1，1]，f(x)是連續函數，且只有當a=1時，f＇(-1)=0以及當a=－1時，f＇(1)=0

∴A={a|－1≤a≤1}.     

（2）由=，得x²－ax－2=0，   ∵△=a²+8>0

∴x₁，x₂是方程x²－ax－2=0的兩非零實根，

             x₁+x₂=a，

∴          從而|x₁－x₂|==.

x₁x₂=－2，

∵－1≤a≤1，∴|x₁-x₂|=≤3.

要使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，

當且僅當m²+tm+1≥3對任意t∈[－1，1]恒成立，

即m²+tm－2≥0對任意t∈[－1，1]恒成立.        ②

設g(t)=m²+tm－2=mt+(m²－2)，

方法一：

     g(－1)=m²－m－2≥0，

②  

         g(1)=m²+m－2≥0，

m≥2或m≤－2.

所以，存在實數m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}.

方法二：

當m=0時，②顯然不成立；

當m≠0時，

      m>0，                m<0，

②                  或

       g(－1)=m²－m－2≥0      g(1)=m²+m－2≥0

 m≥2或m≤－2.

所以，存在實數m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}.

【點晴】利用導數研究函數的單調性和最值.在解決函數綜合問題時要靈活運用數學思想和方法化歸為基本問題來解決.

變式：設函數，其中

（1）解不等式

（2）求的取值范圍，使在區間上是單調減函數。

解：（1）不等式即為

當時，不等式解集為

當時，不等式解集為

當時，不等式解集為

（2）在上任取，則

所以要使在遞減即，只要即

故當時，在區間上是單調減函數。

【范例3】已知函數的定義域為，且同時滿足：①；②恒成立；③若，則有．

（1）試求函數的最大值和最小值；

（2）試比較與的大小N）；

（3）某人發現：當x=(nÎN)時，有f(x)<2x+2.由此他提出猜想：對一切xÎ(0,1,都有，請你判斷此猜想是否正確，并說明理由．

解: (1)設0≤x₁<x₂≤1,則必存在實數tÎ(0,1),使得x₂=x₁+t,

   由條件③得,f(x₂)=f(x₁+t)³f(x₁)+f(t)-2,

   ∴f(x₂)-f(x₁)³f(t)-2,

   由條件②得, f(x₂)-f(x₁)³0,

   故當0≤x≤1時,有f(0)≤f(x)≤f(1).                

   又在條件③中,令x₁=0,x₂=1,得f(1)³f(1)+f(0)-2,即f(0)≤2,∴f(0)=2,  

   故函數f(x)的最大值為3,最小值為2.                        

(2)解:在條件③中,令x₁=x₂=,得f()³2f()-2,即f()-2≤[f()-2],  

   故當nÎN*時，有f()-2≤[f()-2]≤[f()-2]≤???≤[f()-2]=,

   即f()≤+2.

   又f()=f(1)=3≤2+,

   所以對一切nÎN,都有f()≤+2.                  

(3)對一切xÎ(0,1,都有.

  對任意滿足xÎ(0,1，總存在n(nÎN),使得

        <x≤,                  

  根據（1）（2）結論，可知：

f(x)≤f()≤+2,

且2x+2>2´+2=+2,

故有.

綜上所述，對任意xÎ(0,1,恒成立.