2009屆高中畢業班第三次模擬考試題
理科數學
本試卷分第I卷（選擇題共60分）和第Ⅱ卷（非選擇題共90分）。考試時間120分鐘，滿分150分，第I卷1至2頁，第Ⅱ卷3至4頁考試結束后，只需上交答題卡。
注意事項：
1．答題前，考生務必在答題卡上用黑色簽字筆將自己的姓名、準考證號填寫清楚，請認真核對準考證號、姓名和科目。
2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，在試題卷上作答無效。
參考公式：
如果事件
互斥，那么
如果事件相互獨立，那么
如果事件A在一次試驗中發生的概率是
，那么
次獨立重復試驗中恰好發生
次的概率
球的表面積公式：
其中R表示球的半徑
球的體積公式：
其中R表示球的半徑
第I卷 選擇題（共60分）
一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一個項是符合題目要求的。）
1．已知全集
，集合
，則
A．
B．
C．
D．
或
2．對于兩條直線
，
和平面
，若
，則
是
的
A．充分但不必要條件 B．必要但不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．以曲線
上的點（1，-1）為切點的切線方程是
A．
B．
C．
D．
4．定義運算
則函數
的最小正周期是
A．2
B． C．
D．
5．滿足
的復數
是
A．
B．
C．
D．
6．函數
的反函數是
A．
B．
C．
D．
7．在
的展開式中，常數項為15，則
=
A．3 B．
8．已知
為線段
上距A較近的一個三等分點，
為線段
上距C較近的一個三等分點，則用
表示
的表達式為
A．
B．
C．
D．
9．已知公差不為0的等差數列
的前5項和為-20，若
成等比數列，則
A．-4 B．
10．曲線
（
為參數）與直線
有公共點，那么實數的取值范圍是
A．（1，2）
B．
C．
D．
11．已知定義在R上的函數
的圖象關于點
對稱，且滿足
，
，則
的值是
A．2
B．
12．已知
且
<0，若
，則實數
的取值范圍是
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）
注意事項：
本卷共10小題，用黑碳素筆將答案答在答題卡上，答在試卷上的答案無效。
二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13．已知
滿足
，則
的最小值是_____________。
14．已知橢圓的短軸長、長軸長、兩準線間的距離成等比數列，則比橢圓的離心率
______________。
15．一個球與一個正八面體的八個面都相切，已知這個球的體積為
，那么這個正八面體的體積是________________。
16．數字1，2，3，4，5，6按如圖形式隨即排列，設第一行這個數
所有排列的個數是_____________。
三、解答題：本大題有6小題，共70分。解答應寫出問字說明，證明過程或演算步驟。
17．（本小題滿分10分）
在
中，角A、B、C所對的邊分別是
，又
.
（1）求
的值；
（2）若
的面積
，求的值
18．（本小題滿分12分）
2008年12月底，一考生參加某大學的自主招生考試，需進行書面測試，測試題中有4道題，每一道題能否正確出是相互獨立的，并且每一道題被該考生正確做出的概率都是
。
（1）若該考生至少正確做出3道題，才能通過書面測試這一關，求這名考生通過書面測試的概率；
（2）如果記該考生答完4道題后所答對的題數為
，求的分布列、數學期望與方差。
19．（本小題滿分12分）
如圖，已知直平行六面體
中，
，
（1）求證：
；
（2）求二面角
的大小
20．（本小題滿分12分）
已知三次函數的導數
為實數，
（1）若在區間[-1，1]上的最小值、最大值分別為-2、1，求a、b的值；
（2）設函數
試判斷函數的極值點個數。
21．（本小題滿分12分）
已知點
是平面上一動點，且滿足
（1）求點
的軌跡C對應的方程；
（2）已知點
在曲線C上，過點A作曲線C的兩條弦
，且的斜率
=2試推斷：動直線
是否過定點？證明你的結論。
22．（本小題滿分12分）數列中，
，且前項和
滿足
，
（1）求
；
（2）令
數列
的前項和為
，當
時，求證：
。
2009屆高中畢業班第三次模擬考試題
一、選擇題：（共60分）
1．D 2．D 3．B 4．B 5．A 6．C 7．D 8．A 9．B 10．C 11．A 12．C
二、填空題；（本大題共5小題，每小題5分，共20分）
13．3 14．
15．
16．240
三、解答題：本大題有6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17．解：（1）
1分
5分
（2）
7分
由余弦定理
9分
10分
18．（1）記“這名考生通過書面測試”為實踐A，則這名考生至少正確做出3道題，即正確做出3道題或4道題，故
4分
（2）由題意得
的所有可能取值分別是0，1，2，3，4，且-B（4，
）。
的分布列為：
0
1
2
3
4
19．解法一：
（1）在直平行六面體
-
中，
又
4分
又
6分
（2）如圖，連
易證
，又
為
中點，
8分
取
中點
，連
，則
，
作
由三垂線定理知：
，則
是
二面角
的平面角
10分
在
中，易求得
中，
則二面角的大小為
12分
解法二：
（1）以
為坐標原點，射線
為
軸，建立如圖所示坐標為
，
依題設，
又
6分
（2）由
8分
由（1）知平面
的一個法向量為
=
取
，
10分
二面角的大小為
20．解：（1）由已知得
由
由題意得
故
為所求
（2）解：
二次函數
的判別式為：
令
令
當
時，此時方程
有兩個不相等的實數根，根據極值點的定義，可知函數
有兩個極值點
21．解：（1）設
代入
得
化簡得
（2）將
代入
得
，
法一：
兩點不可能關于軸對稱，
的斜率必存在
設直線
的方程
由
7分
且
8分
將
代入化簡
將
代入
得
，過定點(-1.-2)
將
入得
，過定點（1，2）即為A點，舍去
直線過定點為（-1，-2）
法二：設
則
同理
，由已知得
設直線的方程為
代入
得
直線的方程為
即
直線過定點（-1，-2）
22．解：（1）由
于是
即
有
（2）由（1）得
而
=
=
當
故命題得證
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