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2008年12月底，一考生參加某大學的自主招生考試，需進行書面測試，測試題中有4道題，每一道題能否正確做出是相互獨立的，并且每一道題被該考生正確做出的概率都是，
（1）若該考生至少正確做出3道題，才能通過書面測試這一關，求這名考生通過書面測試的概率；
（2）如果記該考生答完4道題后所答對的題數為ξ，求ξ的分布列、數學期望與方差。

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一、選擇題：（共60分）

1．D   2．D   3．B   4．B   5．A   6．C   7．D   8．A   9．B   10．C   11．A  12．C

二、填空題；（本大題共5小題，每小題5分，共20分）

13．3    14．   15．    16．240

三、解答題：本大題有6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17．解：（1）         1分

                          5分

      （2）             7分

            由余弦定理   9分

                                                             10分

18．（1）記“這名考生通過書面測試”為實踐A，則這名考生至少正確做出3道題，即正確做出3道題或4道題，故           4分

   （2）由題意得的所有可能取值分別是0，1，2，3，4，且-B（4，）。

         的分布列為：

0

1

2

3

4

19．解法一：

（1）在直平行六面體-中，

         又

                              4分

         又           6分

     （2）如圖，連

         易證

         ，又為中點，

                8分

           取中點，連，則，

           作由三垂線定理知：，則 是

二面角的平面角            10分

           在中，易求得

           中，

           則二面角的大小為              12分

   解法二：

（1）以為坐標原點，射線為軸，建立如圖所示坐標為，

     依題設，

     又

                     6分

 （2）由

                8分

      由（1）知平面的一個法向量為=

      取，

           10分

  二面角的大小為

20．解：（1）由已知得

             由

            由題意得

            故為所求

        （2）解：

              二次函數的判別式為：

              令

              令

              當時，此時方程有兩個不相等的實數根，根據極值點的定義，可知函數有兩個極值點

21．解：（1）設代入得

             化簡得

       （2）將代入得，

        法一：兩點不可能關于軸對稱，的斜率必存在

              設直線的方程

               由

                     7分

         且

                 8分

       將代入化簡

       將代入得，過定點(-1.-2)

       將入得，過定點（1，2）即為A點，舍去

          直線過定點為（-1，-2）

  法二：設則

         同理，由已知得

         設直線的方程為代入

         得

         直線的方程為 

         即直線過定點（-1，-2）

22．解：（1）由

            于是

            即

            有

       （2）由（1）得

             而

                  =

                  =

              當

              故命題得證