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例1．如圖，在四棱錐P―ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F.

（1）證明PA//平面EDB；（2）證明PB⊥平面EFD

例2．四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面底面ABCD，已知，，，．

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）求直線SD與平面SBC所成角的大�。�

變式：

已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中點. 

（Ⅰ）證明：面PAD⊥面PCD；

（Ⅱ）求AC與PB所成的角；

（Ⅲ）求面AMC與面BMC所成二面角的大小.

題型二、空間角與距離

例3．如圖，在四棱錐中，底面四邊長為1的 菱形，， ， ，為的中點。

（Ⅰ）求異面直線AB與MD所成角的大小；

（Ⅱ）求點B到平面OCD的距離。

例4. 如圖，四面體ABCD中，O、E分別BD、BC的中點，CA=CB=CD=BD=2

（Ⅰ）求證：AO⊥平面BCD；

（Ⅱ）求異面直線AB與CD所成角的大小；

（Ⅲ）求點E到平面的距離.

變式：

如圖，正三棱錐的三條側(cè)棱、、兩兩垂直，且長度均為2．、分別是、的中點，是的中點，過的平面與側(cè)棱、、或其延長線分別相交于、、，已知．

（1）求證：⊥面；

（2）求二面角的大�。�

例5.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PA垂直于底面，E、F分別是AB、PC的中點．

（1）求證：平面PAD；

（2）當(dāng)平面PCD與平面ABCD成多大二面角時，  直線平面PCD？

變式：

如圖，在三棱錐A－BCD中，側(cè)面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD＝，BD＝CD＝1，另一個側(cè)面是正三角形

(1)求證：AD^BC

(2)求二面角B－AC－D的大小

(3)在直線AC上是否存在一點E，使ED與面BCD成30°角？若存在，確定E的位置；若不存在，說明理由.

例6．已知正方形  、分別是、的中點，將沿折起，如圖所示，記二面角的大小為 

(1) 證明平面；

(2)若為正三角形，試判斷點在平面內(nèi)的射影是否在直線上，證明你的結(jié)論，并求角的余弦值。 

變式：

如圖，在直角梯形P₁DCB中，P₁D∥CB，CD⊥P₁D，P₁D＝6，BC＝3，DC＝，A是P₁D的中點，E是線段AB的中點，沿AB把平面P₁AB折起到平面PAB的位置，使二面角P－CD－B成45°角．

（Ⅰ）求證：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面PEC和平面PAD所成的銳二面角的大小．

題型五、多面體的組合問題

例7．是正四棱錐，是正方體，其中．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求平面與平面所成的銳二面角的大小；

（Ⅲ）求到平面的距離．

變式：

如圖4，已知兩個正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的高分別為1和2，AB=4.

(Ⅰ)證明PQ⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求異面直線AQ與PB所成的角；

(Ⅲ)求點P到平面QAD的距離.

題型六、表面積與體積問題

例8．如圖，在四棱錐中，平面平面，，是等邊三角形，已知，．

（Ⅰ）設(shè)是上的一點，證明：平面平面；

（Ⅱ）求四棱錐的體積．

變式：

正方體，，E為棱的中點．

(Ⅰ) 求證：；

(Ⅱ) 求證：平面；

（Ⅲ）求三棱錐的體積．

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