四川省成都市重點(diǎn)名校聯(lián)盟2009年高考數(shù)學(xué)沖刺預(yù)測(cè)試卷 (三)
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。第Ⅰ卷1至2頁。第Ⅱ卷3到6頁�？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷
注意事項(xiàng)：
1．答第Ⅰ卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目涂寫在答題卡上。
2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。不能答在試題卷上。
3．本卷共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
參考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球是表面積公式
如果事件A、B相互獨(dú)立，那么 其中R表示球的半徑
球的體積公式
如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是P，那么 
n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率 其中R表示球的半徑
一．選擇題：
（1）（理）已知復(fù)數(shù)
滿足
，則
（ ）
A．
B. 
C. 
D. 
（文）函數(shù)
的定義域?yàn)椋ā 。?/p>
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
（2）已知函數(shù)
的反函數(shù)為
，函數(shù)
的反函數(shù)為
，則函數(shù)與
的圖象關(guān)系是（ ）
A、將函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)單位可得到函數(shù)的圖象
B、將函數(shù)的圖象向左平移1個(gè)單位可得到函數(shù)的圖象
C、將函數(shù)的圖象向上平移1個(gè)單位可得到函數(shù)的圖象
D、將函數(shù)的圖象向下平移1個(gè)單位可得到函數(shù)的圖象
（3）（理）已知
，則
（ ）
A、
B、
C、
D、
（文）某地區(qū)有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家．為了掌握各商店的營業(yè)情況，要從中抽取一個(gè)容量為20的樣本．若采用分層抽樣的方法，抽取的中型商店數(shù)是（ ）
（A）2 （B）3 （C）5 （D）13
（4）給出下列四個(gè)命題:
①垂直于同一直線的兩條直線互相平行．
②垂直于同一平面的兩個(gè)平面互相平行．
③若直線
與同一平面所成的角相等,則互相平行．
④若直線是異面直線,則與都相交的兩條直線是異面直線．
其中假命題的個(gè)數(shù)是（ ） A、1 B、
（5）設(shè)變量
滿足約束條件
，則目標(biāo)函數(shù)
的最大值為（ ）
A．2 B．
（6）（理）已知雙曲線
的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為
的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是（ ）
（A）
�。˙）
�。–）
（D）
（文）一袋中裝有大小相同，編號(hào)分別為
的八個(gè)球，從中有放回地每次取一個(gè)球，共取2次，則取得兩個(gè)球的編號(hào)和不小于15的概率為（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
（7）頂點(diǎn)在同一球面上的正四棱柱
中，
，則
、
兩點(diǎn)間的球面距離為（ ）
A．
B．
C．
D．
（8）
的三內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊的長分別為
、
、
，設(shè)向量
若
則角的大小為（ ）
A.
B. 
C. 
D. 
（9）在正方體
中，
、
分別為棱
、
的中點(diǎn)，則在空間中與三條直線
、
、
都相交的直線（
）
A、不存在 B、有且只有兩條 C、有且只有三條 D、有無數(shù)條
（10）如圖所示，“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近
一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道I繞月飛行，之后衛(wèi)星
在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，最終衛(wèi)星
在P點(diǎn)第三次變軌進(jìn)入以F為圓形軌道Ⅲ繞月飛行，若用
和
分別表
示橢圓軌道I和Ⅱ的焦距，用
和
分別表示橢圓軌道I和Ⅱ的長軸的長，
給出下列式子：
①
②
③
④
其中正確式子的序號(hào)是（ ）
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
（11）已知對(duì)任意實(shí)數(shù)
，有
，且
時(shí)，
，則
時(shí)（ ）
A． B．
C．
D．
（12）（理）已知直線
（
是非零常數(shù)）與圓
有公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)，那么這樣的直線共有（ ）
A．60條 B．66條 C．72條 D．78條
（文）設(shè)橢圓
的離心率為
，右焦點(diǎn)為
，方程
的
兩個(gè)實(shí)根分別為
和
，則點(diǎn)
（ �。�
Ａ．必在圓
上 Ｂ．必在圓外
Ｃ．必在圓內(nèi) Ｄ．以上三種情形都有可能
第Ⅱ卷
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在橫線上.
（13）若對(duì)于任意實(shí)數(shù)，有
，則
的值為
________________________．
（14）已知
，且在區(qū)間
有最小值，無最大值，
則
_____________.
（15）
在等比數(shù)列
中，若
則
=__________________.
（16）定義在
上的函數(shù)
，若對(duì)任意不等實(shí)數(shù)
滿足
，且對(duì)于任意的
，不等式
成立.又函數(shù)
的圖象關(guān)于點(diǎn)
對(duì)稱，則當(dāng) 
時(shí)，
的取值范圍為__________________.
三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
（17）（本小題滿分12分）已知函數(shù)
⑴ 求f（x）的最小正周期；
⑵ 求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
⑶ 函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過怎樣的平移才能使其對(duì)應(yīng)的函數(shù)成為奇函數(shù)？
（18）（本小題滿分12分）（文）平面上有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)、
分別位于
、
，在某一時(shí)刻同時(shí)開始每隔1秒鐘向上、下、左、右四個(gè)方向中的任何一個(gè)方向移動(dòng)1個(gè)單位.已知質(zhì)點(diǎn)向左、右移動(dòng)的概率都是
，向上、下移動(dòng)的概率分別是
和
，質(zhì)點(diǎn)向四個(gè)方向移動(dòng)的概率都是
.
（1）求和的值；
（2）試判斷最少需要幾秒鐘，、能同時(shí)到達(dá)點(diǎn)
？并求在最短時(shí)間內(nèi)同時(shí)到達(dá)的概率.
（理）現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，對(duì)甲項(xiàng)目每投資十萬元，一年后利潤是1.2萬元、1.18萬元、1.17萬元的概率分別為
、
、
；已知乙項(xiàng)目的利潤與產(chǎn)品價(jià)格的調(diào)整有關(guān)，在每次調(diào)整中價(jià)格下降的概率都是
，設(shè)乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格在一年內(nèi)進(jìn)行2次獨(dú)立的調(diào)整，記乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格在一年內(nèi)的下降次數(shù)為
，對(duì)乙項(xiàng)目每投資十萬元，取0、1、2時(shí)，一年后相應(yīng)利潤是1.3萬元、1.25萬元、0.2萬元．隨機(jī)變量
、
分別表示對(duì)甲、乙兩項(xiàng)目各投資十萬元一年后的利潤．
（Ⅰ）求
、
的概率分布和數(shù)學(xué)期望
、
；
（Ⅱ）當(dāng)
時(shí)，求的取值范圍．
（19）（本小題滿分12分）如圖，直三棱柱
中，
，
是
的中點(diǎn)，
是側(cè)棱
上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
（1）當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，證明：
平面
；
（2）在棱上是否存在點(diǎn)滿足
，使二面角
是直二面角？若存在，求出
的值；若不存在，說明理由.
（20）設(shè)數(shù)列
前
項(xiàng)和為
，且
.其中
為實(shí)常數(shù)，
且
.
（1）求證：是等比數(shù)列；
（2）若數(shù)列的公比滿足
且
，求
的通項(xiàng)公式；
（3）若
時(shí)，設(shè)
，是否存在最大的正整數(shù)
，使得對(duì)任意
均有
成立，若存在求出的值，若不存在請(qǐng)說明理由.
（21）（本小題滿分12分）
（文）設(shè)函數(shù)
，已知
（Ⅰ）求a和b的值；
（Ⅱ）討論的單調(diào)性；
（Ⅲ）設(shè)
，試比較與的大小.
（理）已知函數(shù)
（
為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），
（為常數(shù)），是實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù).
（1）求證：
；
（2）討論關(guān)于的方程：
的根的個(gè)數(shù)；
（提示：
）
（3）設(shè)，證明：
（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.
（22）（本小題滿分14分）
（文）設(shè)動(dòng)點(diǎn)
到點(diǎn)
和
的距離分別為
和
，
，且存在常數(shù)
，使得
．
（1）證明：動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線，并求出的方程；
（2）如圖，過點(diǎn)
的直線與雙曲線的右支交于
兩點(diǎn)．問：是否存在，使
是以點(diǎn)為直角
頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不
存在，說明理由．
（理）我們把由半橢圓
與半橢圓
合成的曲線稱作“果圓”，其中
，
，
．
如圖，點(diǎn)
，
，
是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，
，
和
，
分別是“果圓”與
，
軸的交點(diǎn)．
（1）若
是邊長為1的等邊三角形，
求“果圓”的方程；
（2）當(dāng)
時(shí)，求
的取值范圍；
（3）連接“果圓”上任意兩點(diǎn)的線段稱為“果圓”
的弦．試研究：是否存在實(shí)數(shù)，使斜率為的“果圓”平行弦的中點(diǎn)軌跡總是落在某個(gè)橢圓上？若存在，求出所有可能的值；若不存在，說明理由．
四川省成都市重點(diǎn)名校聯(lián)盟2009年高考數(shù)學(xué)沖刺預(yù)測(cè)試卷 (三)
一、選擇題
1、B（A） 2、C 3、A(C) 4、D 5、D 6、C（D）
7、B 8、B 9、C 10、B 11、B 12、A（C）
二、填空題
13、6
14、
15、31
16、
三、解答題
17、解：⑴由
由
∴函數(shù)
的最小正周期T=
…………………6分
⑵由
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是
．
⑶
，∴奇函數(shù)
的圖象左移
即得到的圖象，
故函數(shù)的圖象右移后對(duì)應(yīng)的函數(shù)成為奇函數(shù)．…………………12分
18、（文）解：（1）
，又
. ∴
，
.
（2）至少需要3秒鐘可同時(shí)到達(dá)
點(diǎn).
到達(dá)點(diǎn)的概率
. 
到達(dá)點(diǎn)的概率
.
故所求的概率
.
（理）解：（Ⅰ）
的概率分布為
1．2
1．18
1．17
．
由題設(shè)得
，即
的概率分布為
0
1
2
故
的概率分布為
1．3
1．25
0．2
所以的數(shù)學(xué)期望
．
（Ⅱ）由
∵
，∴
．
19、解：（1）取
中點(diǎn)
，連結(jié)
，∵是
的中點(diǎn)，
是
的中點(diǎn).
∴
所以
，所以
………………………… 2分
又
平面
，所以
平面………………………………………… 4分
（2）分別在兩底面內(nèi)作
于
，
于
，連結(jié)
，易得
，以為原點(diǎn)，
為
軸，
為
軸，為
軸建立直角坐標(biāo)系，
設(shè)
，則
……………………………………………………… 5分
.
易求平面
的法向量為
…………………………………………… 7分
設(shè)平面
的法向量為
，由
…………… 9分
取
得
∴
…………… 11分
由題知
∴
所以在上存在點(diǎn)，當(dāng)
時(shí)
是直二面角.…………… 12分
20、解：（1）由
，得
，兩式相減，得
，∴
，∵
是常數(shù)，且
，
，故
為不為0的常數(shù)，∴
是等比數(shù)列.
（2）由
，且
時(shí)，
，得
，∴
是以1為首項(xiàng)，
為公差的等差數(shù)列，
∴
，故
.
（3）由已知
，∴
相減得：
，∴
，
，
遞增，∴
，
對(duì)
均成立，∴
∴，又
，∴
最大值為7.
21、（文）解：(Ⅰ)因?yàn)?sub>
又 
因此
解方程組得 
(Ⅱ)因?yàn)?nbsp; 
所以 
令 
因?yàn)?nbsp;
所以
在（-2，0）和（1，+
）上是單調(diào)遞增的；
在（-，-2）和（0，1）上是單調(diào)遞減的.
(Ⅲ)由（Ⅰ）可知
（理）（1）證：令
,令
時(shí)
時(shí),
. ∴
∴
即
.
（2）∵
是R上的奇函數(shù) ∴
∴
∴
∴
故
.
故討論方程
在
的根的個(gè)數(shù).
即
在的根的個(gè)數(shù).
令
.注意,方程根的個(gè)數(shù)即交點(diǎn)個(gè)數(shù).
對(duì)
, 
,
令
, 得
，
當(dāng)
時(shí),
; 當(dāng)
時(shí),
. ∴
，
當(dāng)
時(shí),
； 當(dāng)
時(shí),
， 但此時(shí)
，此時(shí)以軸為漸近線。
①當(dāng)
即
時(shí),方程無根;
②當(dāng)
即
時(shí),方程只有一個(gè)根.
③當(dāng)
即
時(shí),方程有兩個(gè)根.
（3）由(1)知
, 令
,
∴
,于是
,
∴
.
22、（文）22．解：（1）在
中，
．
． 
（小于
的常數(shù)）
故動(dòng)點(diǎn)的軌跡
是以
，
為焦點(diǎn)，實(shí)軸長
的雙曲線．方程為
．
（2）方法一：在
中，設(shè)
，
，
，
．
假設(shè)為等腰直角三角形，則
由②與③得：
，
則
由⑤得：
，
，
故存在
滿足題設(shè)條件．
方法二：（1）設(shè)為等腰直角三角形，依題設(shè)可得：
所以
，
．
則
．①
由
，可設(shè)
，
則
，
．
則
．②
由①②得
．③
根據(jù)雙曲線定義
可得，
．
平方得：
．④
由③④消去
可解得，
故存在滿足題設(shè)條件．
（理）解：（1）
，
，
于是
，所求“果圓”方程為
，
．
（2）由題意，得 
，即
．
，
，得
．
又
． 
．
（3）設(shè)“果圓”的方程為
，
．
記平行弦的斜率為．
當(dāng)
時(shí)，直線
與半橢圓的交點(diǎn)是
，與半橢圓的交點(diǎn)是
．
的中點(diǎn)
滿足 
得 
．
， 
．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，“果圓”平行弦的中點(diǎn)軌跡總是落在某個(gè)橢圓上．
當(dāng)
時(shí)，以為斜率過
的直線
與半橢圓的交點(diǎn)是
．
由此，在直線右側(cè)，以為斜率的平行弦的中點(diǎn)軌跡在直線
上，即不在某一橢圓上． 當(dāng)
時(shí)，可類似討論得到平行弦中點(diǎn)軌跡不都在某一橢圓上．
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