題目列表(包括答案和解析)
某次數學考試中，從甲、乙兩個班級各隨機抽取10名同學的成績進行統計分析，兩班成績的莖葉圖如圖所示，成績不小于90分為及格．
（I）從兩班10名同學中各抽取一人，已知有人及格，求乙班同學不及格的概率；
（II）從甲班10人中取一人，乙班10人中取兩人，三人中及格人數記為X，求X的分布列和期望
| 1 | 2 |
| 1 | 2 |
在一次數學考試中, 第14題和第15題為選做題.規定每位考生必須且只需在其中選做一題. 設4名考生選做這兩題的可能性均為.
（1）其中甲、乙2名學生選做同一道題的概率；
（2）設這4名考生中選做第15題的學生數為
個,求的分布列及數學期望.
一、選擇題
1、B（A） 2、C 3、A(C) 4、D 5、D 6、C（D）
7、B 8、B 9、C 10、B 11、B 12、A（C）
二、填空題
13、6
14、
15、31
16、
三、解答題
17、解：⑴由
由
∴函數
的最小正周期T=
…………………6分
⑵由
∴f（x）的單調遞減區間是
．
⑶
，∴奇函數
的圖象左移
即得到的圖象，
故函數的圖象右移后對應的函數成為奇函數．…………………12分
18、（文）解：（1）
，又
. ∴
，
.
（2）至少需要3秒鐘可同時到達
點.
到達點的概率
. 
到達點的概率
.
故所求的概率
.
（理）解：（Ⅰ）
的概率分布為
1．2
1．18
1．17
．
由題設得
，即
的概率分布為
0
1
2
故
的概率分布為
1．3
1．25
0．2
所以的數學期望
．
（Ⅱ）由
∵
，∴
．
19、解：（1）取
中點
，連結
，∵是
的中點，
是
的中點.
∴
所以
，所以
………………………… 2分
又
平面
，所以
平面………………………………………… 4分
（2）分別在兩底面內作
于
，
于
，連結
，易得
，以為原點，
為
軸，
為
軸，為
軸建立直角坐標系，
設
，則
……………………………………………………… 5分
.
易求平面
的法向量為
…………………………………………… 7分
設平面
的法向量為
，由
…………… 9分
取
得
∴
…………… 11分
由題知
∴
所以在上存在點，當
時
是直二面角.…………… 12分
20、解：（1）由
，得
，兩式相減，得
，∴
，∵
是常數，且
，
，故
為不為0的常數，∴
是等比數列.
（2）由
，且
時，
，得
，∴
是以1為首項，
為公差的等差數列，
∴
，故
.
（3）由已知
，∴
相減得：
，∴
，
，
遞增，∴
，
對
均成立，∴
∴，又
，∴
最大值為7.
21、（文）解：(Ⅰ)因為
又 
因此
解方程組得 
(Ⅱ)因為 
所以 
令 
因為
所以
在（-2，0）和（1，+
）上是單調遞增的；
在（-，-2）和（0，1）上是單調遞減的.
(Ⅲ)由（Ⅰ）可知
（理）（1）證：令
,令
時
時,
. ∴
∴
即
.
（2）∵
是R上的奇函數 ∴
∴
∴
∴
故
.
故討論方程
在
的根的個數.
即
在的根的個數.
令
.注意,方程根的個數即交點個數.
對
, 
,
令
, 得
，
當
時,
; 當
時,
. ∴
，
當
時,
； 當
時,
， 但此時
，此時以軸為漸近線。
①當
即
時,方程無根;
②當
即
時,方程只有一個根.
③當
即
時,方程有兩個根.
（3）由(1)知
, 令
,
∴
,于是
,
∴
.
22、（文）22．解：（1）在
中，
．
． 
（小于
的常數）
故動點的軌跡
是以
，
為焦點，實軸長
的雙曲線．方程為
．
（2）方法一：在
中，設
，
，
，
．
假設為等腰直角三角形，則
由②與③得：
，
則
由⑤得：
，
，
故存在
滿足題設條件．
方法二：（1）設為等腰直角三角形，依題設可得：
所以
，
．
則
．①
由
，可設
，
則
，
．
則
．②
由①②得
．③
根據雙曲線定義
可得，
．
平方得：
．④
由③④消去
可解得，
故存在滿足題設條件．
（理）解：（1）
，
，
于是
，所求“果圓”方程為
，
．
（2）由題意，得 
，即
．
，
，得
．
又
． 
．
（3）設“果圓”的方程為
，
．
記平行弦的斜率為．
當
時，直線
與半橢圓的交點是
，與半橢圓的交點是
．
的中點
滿足 
得 
．
， 
．
綜上所述，當時，“果圓”平行弦的中點軌跡總是落在某個橢圓上．
當
時，以為斜率過
的直線
與半橢圓的交點是
．
由此，在直線右側，以為斜率的平行弦的中點軌跡在直線
上，即不在某一橢圓上． 當
時，可類似討論得到平行弦中點軌跡不都在某一橢圓上．
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