題目列表(包括答案和解析)
（07年江西卷文）（14分）
設(shè)動點(diǎn)
到點(diǎn)
和
的距離分別為
和
，
，
且存在常數(shù)
，使得
．
（1）證明：動點(diǎn)的軌跡
為雙曲線，并求出的方程；
（2）如圖，過點(diǎn)
的直線與雙曲線的右支交于 
兩點(diǎn)．問：是否存在
，使
是以點(diǎn)
為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
（選做題）從A，B，C，D四個中選做2個，每題10分，共20分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．（本小題為選做題，滿分10分）
如圖，AB是半圓的直徑，C是AB延長線上一點(diǎn)，CD
切半圓于點(diǎn)D，CD=2，DE⊥AB，垂足為E，且E是
OB的中點(diǎn)，求BC的長．
B．（本小題為選做題，滿分10分）
已知矩陣
，其中
，若點(diǎn)P（1,1）在矩陣A的變換下得到點(diǎn)
，
（1）求實(shí)數(shù)a的值； （2）求矩陣A的特征值及特征向量.
C．（本小題為選做題，滿分10分）
設(shè)點(diǎn)
分別是曲線
和
上的動點(diǎn)，求動點(diǎn)間的最小距離.
D．（本小題為選做題，滿分10分）
設(shè)
為正數(shù)，證明：
≥
.
一、選擇題
1、B（A） 2、C 3、A(C) 4、D 5、D 6、C（D）
7、B 8、B 9、C 10、B 11、B 12、A（C）
二、填空題
13、6
14、
15、31
16、
三、解答題
17、解：⑴由
由
∴函數(shù)
的最小正周期T=
…………………6分
⑵由
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是
．
⑶
，∴奇函數(shù)
的圖象左移
即得到的圖象，
故函數(shù)的圖象右移后對應(yīng)的函數(shù)成為奇函數(shù)．…………………12分
18、（文）解：（1）
，又
. ∴
，
.
（2）至少需要3秒鐘可同時到達(dá)
點(diǎn).
到達(dá)點(diǎn)的概率
. 
到達(dá)點(diǎn)的概率
.
故所求的概率
.
（理）解：（Ⅰ）
的概率分布為
1．2
1．18
1．17
．
由題設(shè)得
，即
的概率分布為
0
1
2
故
的概率分布為
1．3
1．25
0．2
所以的數(shù)學(xué)期望
．
（Ⅱ）由
∵
，∴
．
19、解：（1）取
中點(diǎn)
，連結(jié)
，∵是
的中點(diǎn)，
是
的中點(diǎn).
∴
所以
，所以
………………………… 2分
又
平面
，所以
平面………………………………………… 4分
（2）分別在兩底面內(nèi)作
于
，
于
，連結(jié)
，易得
，以為原點(diǎn)，
為
軸，
為
軸，為
軸建立直角坐標(biāo)系，
設(shè)
，則
……………………………………………………… 5分
.
易求平面
的法向量為
…………………………………………… 7分
設(shè)平面
的法向量為
，由
…………… 9分
取
得
∴
…………… 11分
由題知
∴
所以在上存在點(diǎn)，當(dāng)
時
是直二面角.…………… 12分
20、解：（1）由
，得
，兩式相減，得
，∴
，∵
是常數(shù)，且
，
，故
為不為0的常數(shù)，∴
是等比數(shù)列.
（2）由
，且
時，
，得
，∴
是以1為首項(xiàng)，
為公差的等差數(shù)列，
∴
，故
.
（3）由已知
，∴
相減得：
，∴
，
，
遞增，∴
，
對
均成立，∴
∴，又
，∴
最大值為7.
21、（文）解：(Ⅰ)因?yàn)?sub>
又 
因此
解方程組得 
(Ⅱ)因?yàn)?nbsp; 
所以 
令 
因?yàn)?nbsp;
所以
在（-2，0）和（1，+
）上是單調(diào)遞增的；
在（-，-2）和（0，1）上是單調(diào)遞減的.
(Ⅲ)由（Ⅰ）可知
（理）（1）證：令
,令
時
時,
. ∴
∴
即
.
（2）∵
是R上的奇函數(shù) ∴
∴
∴
∴
故
.
故討論方程
在
的根的個數(shù).
即
在的根的個數(shù).
令
.注意,方程根的個數(shù)即交點(diǎn)個數(shù).
對
, 
,
令
, 得
，
當(dāng)
時,
; 當(dāng)
時,
. ∴
，
當(dāng)
時,
； 當(dāng)
時,
， 但此時
，此時以軸為漸近線。
①當(dāng)
即
時,方程無根;
②當(dāng)
即
時,方程只有一個根.
③當(dāng)
即
時,方程有兩個根.
（3）由(1)知
, 令
,
∴
,于是
,
∴
.
22、（文）22．解：（1）在
中，
．
． 
（小于
的常數(shù)）
故動點(diǎn)的軌跡
是以
，
為焦點(diǎn)，實(shí)軸長
的雙曲線．方程為
．
（2）方法一：在
中，設(shè)
，
，
，
．
假設(shè)為等腰直角三角形，則
由②與③得：
，
則
由⑤得：
，
，
故存在
滿足題設(shè)條件．
方法二：（1）設(shè)為等腰直角三角形，依題設(shè)可得：
所以
，
．
則
．①
由
，可設(shè)
，
則
，
．
則
．②
由①②得
．③
根據(jù)雙曲線定義
可得，
．
平方得：
．④
由③④消去
可解得，
故存在滿足題設(shè)條件．
（理）解：（1）
，
，
于是
，所求“果圓”方程為
，
．
（2）由題意，得 
，即
．
，
，得
．
又
． 
．
（3）設(shè)“果圓”的方程為
，
．
記平行弦的斜率為．
當(dāng)
時，直線
與半橢圓的交點(diǎn)是
，與半橢圓的交點(diǎn)是
．
的中點(diǎn)
滿足 
得 
．
， 
．
綜上所述，當(dāng)時，“果圓”平行弦的中點(diǎn)軌跡總是落在某個橢圓上．
當(dāng)
時，以為斜率過
的直線
與半橢圓的交點(diǎn)是
．
由此，在直線右側(cè)，以為斜率的平行弦的中點(diǎn)軌跡在直線
上，即不在某一橢圓上． 當(dāng)
時，可類似討論得到平行弦中點(diǎn)軌跡不都在某一橢圓上．
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