我們把由半橢圓與半橢圓合成的曲線稱作“果圓”（其中a²=b²+c²，a＞b＞c＞0）．如圖，設點F，F₁，F₂是相應橢圓的焦點，A₁、A₂和B₁、B₂是“果圓”與x，y軸的交點，若△FF₁F₂是邊長為1的等邊三角，則a，b的值分別為（ ）

A．
B．
C．5，3
D．5，4

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我們把由半橢圓與半橢圓合成的曲線稱作“果圓”（其中a²=b²+c²，a＞b＞c＞0）．如圖，設點F，F₁，F₂是相應橢圓的焦點，A₁、A₂和B₁、B₂是“果圓”與x，y軸的交點，若△FF₁F₂是邊長為1的等邊三角，則a，b的值分別為（ ）

A．
B．
C．5，3
D．5，4

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已知橢圓C：的焦點和上頂點分別為F₁、F₂、B，我們稱△F₁BF₂為橢圓C的特征三角形．如果兩個橢圓的特征三角形是相似三角形，則稱這兩個橢圓為“相似橢圓”，且特征三角形的相似比即為相似橢圓的相似比．已知橢圓C₁以拋物線的焦點為一個焦點，且橢圓上任意一點到兩焦點的距離之和為4．（1）若橢圓C₂與橢圓C₁相似，且相似比為2，求橢圓C₂的方程．
（2）已知點P（m，n）（mn≠0）是橢圓C₁上的任一點，若點Q是直線y=nx與拋物線異于原點的交點，證明點Q一定落在雙曲線4x²-4y²=1上．
（3）已知直線l：y=x+1，與橢圓C₁相似且短半軸長為b的橢圓為C_b，是否存在正方形ABCD，使得A，C在直線l上，B，D在曲線C_b上，若存在求出函數f（b）=S_ABCD的解析式及定義域，若不存在，請說明理由．

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一、選擇題

1、B（A）   2、C        3、A(C)       4、D         5、D          6、C（D）  

7、B         8、B        9、C          10、B        11、B        12、A（C）

二、填空題

13、6          14、           15、31           16、

三、解答題

17、解：⑴由

       由 

       ∴函數的最小正周期T= …………………6分

       ⑵由

       ∴f（x）的單調遞減區間是．

       ⑶，∴奇函數的圖象左移 即得到的圖象，

故函數的圖象右移后對應的函數成為奇函數．…………………12分

18、（文）解：（1），又. ∴，.

（2）至少需要3秒鐘可同時到達點.

到達點的概率. 到達點的概率.

     故所求的概率.

（理）解：（Ⅰ）的概率分布為

1．2

1．18

1．17

．

由題設得，即的概率分布為

0

1

2

故的概率分布為

1．3

1．25

0．2

所以的數學期望．

（Ⅱ）由

∵，∴．

19、解：（1）取中點，連結，∵是的中點，是的中點.

∴  所以，所以………………………… 2分

又平面，所以平面………………………………………… 4分

（2）分別在兩底面內作于，于，連結，易得，以為原點，為軸，為軸，為軸建立直角坐標系，

設，則……………………………………………………… 5分

  .

易求平面的法向量為…………………………………………… 7分

設平面的法向量為

，由…………… 9分

取得  ∴…………… 11分

由題知 ∴

所以在上存在點，當時是直二面角.…………… 12分

20、解：（1）由，得，兩式相減，得，∴，∵是常數，且，，故

為不為0的常數，∴是等比數列.

（2）由，且時，，得

，∴是以1為首項，為公差的等差數列，

∴，故.

（3）由已知，∴

相減得：，∴，

，遞增，∴，對均成立，∴∴，又，∴最大值為7.

21、（文）解：(Ⅰ)因為

             又  

             因此    

             解方程組得 

         (Ⅱ)因為     

             所以     

             令      

             因為    

             所以     在（-2，0）和（1，+）上是單調遞增的；

                           在（-，-2）和（0，1）上是單調遞減的.

         (Ⅲ)由（Ⅰ）可知         

（理）（1）證：令,令時

            時,.  ∴

             ∴ 即.

  （2）∵是R上的奇函數  ∴  ∴

       ∴  ∴  故.

       故討論方程在的根的個數.

       即在的根的個數.

       令.注意,方程根的個數即交點個數.

        對, ,

        令, 得，

         當時,; 當時,.  ∴，

         當時,；   當時,， 但此時

，此時以軸為漸近線。

       ①當即時,方程無根;

②當即時,方程只有一個根.

③當即時,方程有兩個根.

 （3）由(1)知,   令,

      ∴,于是,

      ∴

         .

22、（文）22．解：（1）在中，．

．  （小于的常數）

故動點的軌跡是以，為焦點，實軸長的雙曲線．方程為．

（2）方法一：在中，設，，，．

假設為等腰直角三角形，則

由②與③得：，

則

由⑤得：，

，

故存在滿足題設條件．

方法二：（1）設為等腰直角三角形，依題設可得：

所以，．

則．①

由，可設，

則，．

則．②

由①②得．③

根據雙曲線定義可得，．

平方得：．④

由③④消去可解得，

故存在滿足題設條件．

（理）解：（1） ，

，

    于是，所求“果圓”方程為

    ，．                    

（2）由題意，得  ，即．

         ，，得．  

     又．  ．                                             

（3）設“果圓”的方程為，．

    記平行弦的斜率為．

當時，直線與半橢圓的交點是

，與半橢圓的交點是．

 的中點滿足  得 ．  

     ， ．

    綜上所述，當時，“果圓”平行弦的中點軌跡總是落在某個橢圓上． 

    當時，以為斜率過的直線與半橢圓的交點是．  

由此，在直線右側，以為斜率的平行弦的中點軌跡在直線上，即不在某一橢圓上．   當時，可類似討論得到平行弦中點軌跡不都在某一橢圓上．