Question

已知橢圓C：的焦點和上頂點分別為F₁、F₂、B，我們稱△F₁BF₂為橢圓C的特征三角形．如果兩個橢圓的特征三角形是相似三角形，則稱這兩個橢圓為“相似橢圓”，且特征三角形的相似比即為相似橢圓的相似比．已知橢圓C₁以拋物線的焦點為一個焦點，且橢圓上任意一點到兩焦點的距離之和為4．（1）若橢圓C₂與橢圓C₁相似，且相似比為2，求橢圓C₂的方程．
（2）已知點P（m，n）（mn≠0）是橢圓C₁上的任一點，若點Q是直線y=nx與拋物線異于原點的交點，證明點Q一定落在雙曲線4x²-4y²=1上．
（3）已知直線l：y=x+1，與橢圓C₁相似且短半軸長為b的橢圓為C_b，是否存在正方形ABCD，使得A，C在直線l上，B，D在曲線C_b上，若存在求出函數f（b）=S_ABCD的解析式及定義域，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設條件知：PF₁|+|PF₂|=2a=4，所以橢圓C₁：．設C₂：，由相似比為2可求出橢圓C₂的方程．（2）由題設條件知，設點Q（x，y），由題設條件能推出，
由此可知點Q在雙曲線4x²-4y²=1上．
（3）橢圓C₁：，相似比為b，則橢圓C_b的方程為：．由題意：只需C_b上存在兩點B、D關于直線y=x+1對稱即可．設BD：y=-x+m，設BD中點為E（x，y），B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），然后利用根與系數的關系進行求解．
解答：解：（1）橢圓的一個焦點為，|PF₁|+|PF₂|=2a=4，所以橢圓C₁：
設C₂：，相似比為2，a₂=4；b₂=2，所以橢圓C₂：
（2）點P（m，n）在橢圓上，則，設點Q（x，y）（7分），
所以點Q在雙曲線4x²-4y²=1上
（3）橢圓C₁：，相似比為b，則橢圓C_b的方程為：（11分）
由題意：只需C_b上存在兩點B、D關于直線y=x+1對稱即可
設BD：y=-x+m，設BD中點為E（x，y），B（x₁，y₁），D（x₂，y₂）△=64m²-16×5×（m²-b²）＞0⇒5b²＞m²（13分）
由韋達定理知：，E（x，y）在直線y=x+1上，則，所以（15分）
此時正方形的邊長為，所以正方形的面積為
所以
點評：本題綜合考查橢圓的性質及其綜合應用，難度較大，解題時要認真審題，仔細解答，避免出現不必要的錯誤．