Question

如圖所示，兩根足夠長的直金屬導軌MN、PQ平行放置在傾角為θ的絕緣斜面上，兩導軌間距為L．M、P兩點間接有阻值為R的電阻．一根質量為m的均勻直金屬桿ab放在兩導軌上，并與導軌垂直．整套裝置處于勻強磁場中，磁場方向垂直于斜面向上．導軌和金屬桿的電阻可忽路．讓金屬桿ab沿導軌由靜止開始下滑，經過足夠長的時間后，金屬桿達到最大速度v_m，在這個過程中，電阻R上產生的熱量為Q．導軌和金屬桿接觸良好，它們之間的動摩擦因數為μ且μ＜tanθ．已知重力加速度為g．
（1）求磁感應強度的大小；
（2）金屬桿在加速下滑過程中，當速度達到v₁（v₁＜v_m）時，求此時桿的加速度大小；
（3）求金屬桿從靜止開始至達到最大速度的過程中下降的高度．

Answer 1

分析：（1）金屬桿先沿導軌向下做加速度減小的變加速運動，后做勻速運動，速度達到最大值，此時金屬桿受力平衡，根據平衡條件和安培力公式，求出磁感應強度B的大小．
（2）金屬桿在加速下滑過程中，當速度達到v₁（v₁＜v_m）時，求出安培力，由牛頓第二定律求解加速度大小．
（3）金屬桿從靜止開始至達到最大速度的過程中，其重力勢能減小，轉化為桿的動能、摩擦生熱和電路中的焦耳熱，根據能量守恒定律求解桿下降的高度．

解答：解：（1）當ab勻速運動時，金屬桿的受力圖如圖所示（從前向后看的視圖）：圖中F_f為滑動摩擦力，F_N為斜面支持力，F_安為感應電流的安培力，mg為導體棒的重力．這時導體棒勻速直線運動，其所受的合力為零，則有：
  mgsinθ=F_f+F_安
  F_N=mgcosθ，
由滑動摩擦力公式：F_f=μF_N，
由安培力公式F_安=BIL，由歐姆定律I=

E

R

，由法拉第電磁感應定律得E=BLv_m，得F_安=

B2L2vm

R

解得：B=

mgR(sinθ-μcosθ) L2vm

（2）當導體棒的速度為v₁時，由牛頓第二定律得：mgsinθ-μmgcosθ-BI'L=ma，
其中I'為速度時v₁時導體棒中的感應電流，I'=

BLv1

R

，
代入上式解得加速度  a=g(sinθ-μcosθ)(1-

v1

vm

)
（3）由能量守恒知，導體棒減少的重力勢能，轉化為動能、內能和電能，電能通過電阻R又轉化為熱量．所以滿足：
 mgh=

1

2

m

v

2 m

+W′+Q，其中W'為克服摩擦力做的功，
W′=μFN?

h

sinθ

，F_N=mgcosθ，
解得金屬棒下降的高度為  h=

m v 2 m +2Q

mg(1-μcotθ)

答：
（1）磁感應強度的大小為

mgR(sinθ-μcosθ) L2vm

；
（2）金屬桿在加速下滑過程中，當速度達到v₁（v₁＜v_m）時，此時桿的加速度大小為g(sinθ-μcosθ)(1-

v1

vm

)；
（3）金屬桿從靜止開始至達到最大速度的過程中下降的高度為

m v 2 m +2Q

mg(1-μcotθ)

．

點評：本題的關鍵是會推導安培力的表達式，根據平衡條件、牛頓第二定律和能量守恒研究電磁感應現象，常規題．