Question

如圖所示，兩根足夠長且平行的光滑金屬導軌與水平面成53°夾角固定放置，導軌間連接一阻值為6Ω的電阻R，導軌電阻忽略不計．在兩平行虛線m、n間有一與導軌所在平面垂直、磁感應強度為B的勻強磁場．導體棒a的質量為m_a=0.4kg，電阻R_a=3Ω；導體棒b的質量為m_b=0.1kg，電阻R_b=6Ω；它們分別垂直導軌放置并始終與導軌接觸良好．a、b從開始相距L₀=0.5m處同時將它們由靜止開始釋放，運動過程中它們都能勻速穿過磁場區域，當b剛穿出磁場時，a正好進入磁場（g取10m/s²，不計a、b之間電流的相互作用）．求：
（1）當a、b分別穿越磁場的過程中，通過R的電荷量之比；
（2）在穿越磁場的過程中，a、b兩導體棒勻速運動的速度大小之比；
（3）磁場區域沿導軌方向的寬度d為多大；
（4）在整個過程中，產生的總焦耳熱．

Answer 1

分析：（1）導體棒進入磁場切割磁感線，從而產生感應電動勢，電路出現感應電流，則由法拉第電磁感應定律與閉合電路歐姆定律，可推出通過導體棒的電量表達式：q總=

△Φ

R總

．
（2）兩棒勻速穿越磁場的過程中，安培力等于重力的分力．a棒勻速通過時，a棒相當于電源，求出總電阻，b棒勻速通過時，b棒相當于電源，求出總電阻．根據BIL=

B2L2v

R總

=mgsinθ，求出速度比．
（3）當b棒到達m時，兩棒的速度相等，設b棒通過磁場的時間為t，則a棒到達m的速度v_a=v_b+gsin53°t，又d=v_bt，根據兩棒勻速運動的速度關系，求出兩速度，再根據

v

2 a

-

v

2 b

=2gsin53°L0，可求出m點到n點的距離．
（4）在a穿越磁場的過程中，因a棒切割磁感線產生感應電流，可求出對應的安培力做功，同理b棒切割磁感線，產生感應電流，從而求出安培力做功，則兩棒整個過程中，產生的總焦耳熱為兩者之和．

解答：解：（1）由q=

.

I

△t； 
閉合電路歐姆定律：

.

I

=

. E

R總

； 
法拉第電磁感應定律：

.

E

=

△Φ

△t

得：q總=

△Φ

R總

在b穿越磁場的過程中，b是電源，a與R是外電路，電路的總電阻R_總1=8Ω，
通過R的電荷量為qRb=

1

3

q總b=

1

3

?

△Φ

R總1

同理a棒在磁場中勻速運動時R_總2=6Ω，
通過R的電荷量為qRa=

1

2

q總a=

1

2

?

△Φ

R總2

可得：q_Ra：q_Rb=2：1
（2）設b在磁場中勻速運動的速度大小為v_b，則b中的電流Ib=

BLvb

R總1

由以上兩式得：

B2L2vb

R總1

=mbgsin53°
同理a棒在磁場中勻速運動時

B2L2va

R總2

=magsin53°
可得v_a：v_b=3：1
（3）設a、b穿越磁場的過程中的速度分別為v_a和v_b，
由題意得：v_a=v_b+gsin53°t
   勻速直線運動，則有d=v_bt
因為

v

2 a

-

v

2 b

=2gsin53°L0
解得：d=0.25m
（4）安培力大小F_安a=m_agsin53°，
安培力做功：W_a=m_agdsin53°=0.8J
同理W_b=m_bgdsin53°=0.2J  
在整個過程中，電路中共產生多少焦耳熱Q=W_a+W_b=1J
答：（1）當a、b分別穿越磁場的過程中，通過R的電荷量之比為2：1；
（2）在穿越磁場的過程中，a、b兩導體棒勻速運動的速度大小之比為3：1；
（3）磁場區域沿導軌方向的寬度d為0.25m；
（4）在整個過程中，產生的總焦耳熱1J．

點評：解決本題的關鍵能夠正確地對a、b棒進行受力分析，根據受力情況判斷物體的運動情況．以及知道在勻速運動時，安培力等于重力沿斜面方向的分力．