Question

如圖所示，兩根足夠長的平行光滑金屬導軌MN、PQ與水平面的夾角為α=30°，導軌電阻不計，導軌處在垂直導軌平面斜向上的有界勻強磁場中．兩根電阻都為R=2Ω、質量都為m=0.2kg的完全相同的細金屬棒ab和cd垂直導軌并排靠緊的放置在導軌上，與磁場上邊界距離為x=1.6m，有界勻強磁場寬度為3x=4.8m．先將金屬棒ab由靜止釋放，金屬棒ab剛進入磁場就恰好做勻速運動，此時立即由靜止釋放金屬棒cd，金屬棒cd在出磁場前已做勻速運動．兩金屬棒在下滑過程中與導軌接觸始終良好（取重力加速度g=10m/s²）．求：
（1）金屬棒ab剛進入磁場時棒中電流I；
（2）金屬棒cd在磁場中運動的過程中通過回路某一截面的電量q；
（3）兩根金屬棒全部通過磁場的過程中回路產生的焦耳熱Q．

Answer 1

分析：（1）對導體棒進入磁場前過程運用動能定理列式求解，得到進入磁場的速度；然后根據平衡條件、安培力公式、切割公式、歐姆定律列式求解；
（2）金屬棒cd加速下滑過程，ab棒勻速運動，cd棒剛進入磁場時，兩根棒速度相同，故無感應電流，不受安培力，一起加速；ab棒出磁場后，cd棒先減速后勻速，也可能一直減速；
（3）分第一根導體棒穿過磁場和第二個根導體棒穿過磁場過程（兩個導體棒都在磁場中時，兩個棒的速度相同，無感應電流，無電熱）進行討論，第二根離開磁場過程根據動能定理列式求解．

解答：解：（1）由動能定理，得到：mgxsinα=

1

2

mv₁²，解得v₁═4m/s
此后棒勻速下滑，根據切割公式，有E=BLv₁
根據歐姆定律，有E=I×2R
根據安培力公式，有F=BIL
根據平衡條件，有：mgsinα=BIL
聯立得到：mgsinα=

B2L2v1

2R

解得：BL=1T?m 
又由于BIL=mgsinα，解得I=1A   
（2）設經過時間t₁，金屬棒cd也進入磁場，其速度也為v₁，金屬棒cd在磁場外有x=

1

2

v₁?t₁，此時金屬棒ab在磁場中的運動距離為：X=v₁t₁=2x，
兩棒都在磁場中時速度相同，無電流，金屬棒cd在磁場中而金屬棒ab已在磁場外時，cd棒中才有電流，cd棒加速運動的位移為2x；
電量為q=

△Φ

2R

=

B?2x?L

2R

=

BLx

R

=0.8(C)
（3）金屬棒ab在磁場中（金屬棒cd在磁場外）回路產生的焦耳熱為：
Q₁=mgsinα×2x=3.2J 
金屬棒ab、金屬棒cd都在磁場中運動時，回路不產生焦耳熱．兩棒加速度均為gsinα，ab離開磁場時速度為v₂，v₂²-v₁²=2gxsinα，
解得v₂=

4gxsinα

=4

2

m/s；
金屬棒cd在磁場中（金屬棒ab在磁場外），金屬棒cd的初速度為v₂=4

2

m/s，末速度為

2gxsinα

=4m/s，由動能定理：
mgsinα×2x-Q₂=

1

2

m（

2gxsinα

）²-

1

2

m（

4gxsinα

）²
Q₂=mgsinα×3x=4.8J（1分）
Q=Q₁+Q₂=mgsinα×5x=8J
答：（1）金屬棒ab剛進入磁場時棒中電流I為1A；
（2）金屬棒cd在磁場中運動的過程中通過回路某一截面的電量q為0.8C；
（3）兩根金屬棒全部通過磁場的過程中回路產生的焦耳熱Q為8J．

點評：本題關鍵是明確兩個棒的運動過程，然后運用運動學公式、動能定理、法拉第電磁感應定律等列式求解．