Question

如圖所示，兩根足夠長的固定平行金屬導軌位于同一水平面內，導軌間的距離為L，導軌上橫放著兩根導體棒ab和cd．設兩根導體棒的質量皆為m，電阻皆為R，導軌光滑且電阻不計，在整個導軌平面內都有豎直向上的勻強磁場，磁感強度為B．開始時ab和cd兩導體棒有方向相反的水平初速，初速大小分別為v₀和2v₀，求：
（1）從開始到最終穩定回路中產生的焦耳熱．
（2）當ab棒的速度大小變為

v0

4

，回路中消耗的電功率的可能值．

Answer 1

分析：由于ab、cd兩導體棒切割磁感線，回路中產生感應電流．它們在安培力得作用下做減速運動，當ab減速為零時，cd棒仍在向右運動，以后cd棒繼續減速，而ab棒反向加速，直到兩棒達到共同速度后，回路中無感應電流，兩棒以相同的速度v做勻速運動．
1、據兩棒總動量守恒和能量守恒求解從開始到最終穩定回路中產生的焦耳熱．
2、ab棒速度大小為

v0

4

時，方向可能向左，也可能向右，分兩種情況根據動量守恒定律和法拉第電磁感應定律求解．

解答：解：（1）從開始到最終穩定的過程中，兩棒總動量守恒，則有：
2mv₀-mv₀=2mv
解得：v=

v0

2

由能量守恒可得從開始到最終穩定回路中產生的焦耳熱為：
Q=

1

2

m

v

2 0

+

1

2

m(2v0)2-

1

2

（2m）v²=

9

4

m

v

2 0

（2）當ab棒速度大小為

v0

4

且方向向左時，設cd棒的速度為v₁，根據動量守恒得：
2mv₀-mv₀=mv₁-m

v0

4

解得：v₁=

5v0

4

此時回路中的總電動勢：E₁=BL（

v0

4

+

5v0

4

）=

3

2

BLv₀
則消耗的電功率為：P₁=

E 2 1

2R

=

9B2l2v 2 0

8R

當ab棒的速度大小是

v0

4

且方向向右時，設cd棒的速度是v₂，根據動量守恒得：
2mv₀-mv₀=mv₂+m

v0

4

解得：v₂=

3v0

4

此時回路中的總電動勢：E₂=BL（

3v0

4

-

v0

4

）

1

2

BLv₀
則消耗的電功率為：P₂=

E 2 2

2R

=

B2l2v 2 0

8R

答：（1）從開始到最終穩定回路中產生的焦耳熱是

9

4

m

v

2 0

．
（2）當ab棒速度大小為

v0

4

且方向向左時，回路中消耗的電功率是

9B2l2v 2 0

8R

，
當ab棒的速度大小是

v0

4

且方向向右時，消耗的電功率

B2l2v 2 0

8R

．

點評：本題綜合考查了動量守恒定律、法拉第電磁感應定律、電功率公式，綜合性較強，對學生能力要求較高，是一道難題．