Question

如圖所示，用內(nèi)壁光滑的薄壁細(xì)圓管彎成的由半圓形APB（圓半徑比細(xì)管的內(nèi)徑大得多）和直線BC組成的軌道固定在水平桌面上，已知APB部分的半徑R=1.0m，BC段長(zhǎng)L=1.5m．彈射裝置將一個(gè)質(zhì)量m=0.1Kg的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）以v₀=5m/s的水平初速度從A點(diǎn)彈入軌道，小球從C點(diǎn)離開軌道隨即水平拋出，落地點(diǎn)D離開C的水平距離s=2m，不計(jì)空氣阻力，g取10m/s²，求：
（1）小球在半圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)的角速度ω和加速度a的大小
（2）小球在半圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)向心力的大小
（3）小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的時(shí)間t
（4）桌子的高度h．

Answer 1

分析：（1）小球在半圓形APB管內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，角速度為ω=

v0

R

，加速度a=ωv₀．
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出向心力的大小；
（3）小球離開圓管后先做勻速直線運(yùn)動(dòng)，離開桌面后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式分別求出A到B和B到C的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，從而求出小球從A到C的時(shí)間．
（4）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)水平方向上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和豎直方向上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，求出桌子的高度．

解答：解：（1）小球在半圓形APB管內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，角速度為ω=

v0

R

=

5

1

rad/s=5rad/s．
加速度為：a=ωv₀=5×5m/s²=25m/s²．
（2）設(shè)向心力的大小為F，根據(jù)牛頓第二定律得，F(xiàn)=ma=0.1×25N=2.5N．
（3）小球從A到B的時(shí)間 t₁=

πR

v0

=

π

5

s，從B到C做勻速直線運(yùn)動(dòng)，時(shí)間為t₂=

L

v0

=

1.5

5

s=0.3s
故小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的時(shí)間：t=t₁+t₂=

π

5

s+0.3s≈0.93s；
（4）小球從C到D的過程做平拋運(yùn)動(dòng)，則有：
  h=

1

2

gt2
  s=v₀t；
聯(lián)立得：h=

s2g

2 v 2 0

=

22×10

2×52

m=0.8m；
答：
（1）小球在半圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)的角速度ω為5rad/s，加速度a的大小為25m/s²．
（2）小球在半圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)向心力的大小為2.5N．
（3）小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的時(shí)間t約為0.93s；
（4）桌子的高度h為0.8m．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵知道角速度、加速度與線速度的關(guān)系，以及知道平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，知道分運(yùn)動(dòng)與合運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性．