Question

如圖所示，用內壁光滑的薄壁細圓管彎成的由半圓形APB（圓半徑比細管的內徑大得多）和直線BC組成的軌道固定在水平桌面上，已知APB部分的半徑R=1.0m，BC段長L=1.5m．彈射裝置將一個質量為1kg的小球（可視為質點）以v₀=5m/s的水平初速度從A點彈入軌道，小球從C點離開軌道隨即水平拋出，桌子的高度h=1.2m，不計空氣阻力，g取10m/s²．求：
（1）小球在半圓軌道上運動時的角速度ω和向心加速度a的大小及圓管對小球的作用力大小；
（2）小球從A點運動到C點的時間t；
（3）小球將要落到地面上D點時的速度大小．

Answer 1

分析：（1）小球在半圓形APB管內做勻速圓周運動時，角速度ω=

v0

R

，加速度a=ωv₀．根據牛頓第二定律求出圓管對小球的作用力大小；
（2）小球從A到B的時間t₁=

πR

v0

，從B到C做勻速直線運動，時間為t2=

L

v0

．
（3）根據動能定理求出小球將要落到地面上D點時的速度大小．

解答：解：（1）小球在半圓形APB管內做勻速圓周運動時，角速度ω=

v0

R

=

5

1

rad/s=5rad/s，
加速度為a=ωv₀=5×5m/s²=25m/s²．
根據牛頓第二定律得，圓管對小球的作用力大小F=ma=25N．
（2）小球從A到B的時間t₁=

πR

v0

=

3.14×1

5

s═0.628s，從B到C做勻速直線運動，時間為t2=

L

v0

=

1.5

5

s=0.3s
故小球從A點運動到C點的時間t=t₁+t₂=0.928s；
（3）對于平拋運動過程，根據動能定理得
  mgh=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

解得，v=7m/s
答：
（1）小球在半圓軌道上運動時的角速度ω是5rad/s，向心加速度a的大小為25m/s²．圓管對小球的作用力大小是25N；
（2）小球從A點運動到C點的時間t是0.928s；
（3）小球將要落到地面上D點時的速度大小是7m/s．

點評：本題是勻速圓周運動、勻速直線運動和平拋運動的組合，記住勻速圓周運動的角速度、加速度等等公式，就可以輕松解答．