Question

如圖所示，MN與PQ是兩條水平放置彼此平行的光滑金屬導(dǎo)軌，導(dǎo)軌間距為l=0.5m．質(zhì)量m=1kg，電阻r=0.5Ω的金屬桿ab垂直跨接在導(dǎo)軌上，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感線(xiàn)垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B=2T，導(dǎo)軌左端接阻值R=2Ω的電阻，導(dǎo)軌電阻不計(jì)．t=0時(shí)刻ab桿受水平拉力F的作用后由靜止開(kāi)始向右作勻加速運(yùn)動(dòng)，第4s末，ab桿的速度為v=2m/s，重力加速度g=10m/s²．求：
（1）4s末ab桿受到的安培力F_A的大小；
（2）若0-4s時(shí)間內(nèi)，電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱為0.4J，求這段時(shí)間內(nèi)水平拉力F做的功；
（3）若第4s末以后，拉力不再變化，且知道4s末至ab桿達(dá)到最大速度過(guò)程中通過(guò)桿的電量q=1.6C，則ab桿克服安培力做功W_A為多大？

Answer 1

分析：（1）由法拉第電磁感應(yīng)定律求得4s末的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，進(jìn)而由閉合電路歐姆定律求得電流再求出安培力
（2）由電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱為0.4J可求金屬桿ab上產(chǎn)生的焦耳熱，金屬桿ab上產(chǎn)生的焦耳熱在數(shù)值上等于安培力的功，而后對(duì)金屬桿ab列動(dòng)能定理的方程，便可求得這段時(shí)間內(nèi)水平拉力F做的功
（3）知道4s末至ab桿達(dá)到最大速度過(guò)程中通過(guò)桿的電量q=1.6C，便可求得此段時(shí)間內(nèi)桿的位移，由加速度可求4s末的外力大小，對(duì)于ab桿運(yùn)動(dòng)從靜止到達(dá)到最大速度的總過(guò)程，由動(dòng)能定理可得ab桿克服安培力做功W_A

解答：解：（1）第4s末，ab桿的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：E=Blv
感應(yīng)電流為：I=

E

R+r

安培力大小為：F_A=BIl
聯(lián)立以上三式得：FA=

B2l2v

R+r

=

22×0.52×2

2+0.5

N=0.8N
（2）由電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱表達(dá)式知：
Q=I²Rt知，
ab桿產(chǎn)生的焦耳熱應(yīng)為：
Q′=I²rt，
故Q′=

r

R

Q=

0.5

2

×0.4J=0.1J
設(shè)外力做功為W，安培力做功為W′_A，由動(dòng)能定理得：W-W′_A=

1

2

mv²
而W′_A=Q+Q′=0.5J
故，W=Q+Q′+

1

2

mv²=0.5+

1

2

×1×22J=2.5J
（3）設(shè)4s末外力大小為F′，由牛頓第二定律得：
F′-F_A=ma=m

v

t

所以，F(xiàn)′=FA+

mv

t

=0.8+

1×2

4

N=1.3N…①
ab桿達(dá)到最大速度為v_m，此時(shí)加速度為零，故有：
F′=F′_A=

B2l2vm

R+r

所以，vm=

F′(R+r)

B2l2

=

1.3×(2+0.5)

22×0.52

m/s=3.25m/s…②
設(shè)4s末至ab桿達(dá)到最大速度過(guò)程中位移為x，時(shí)間為t′，則4s末至ab桿達(dá)到最大速度過(guò)程中通過(guò)桿的電量為：
q=

.

I

t′=

. E

R+r

t′=

△?

(R+r)t′

×t′=

Bxl

R+r

所以，x=

q(R+r)

Bl

=

1.6(2+0.5)

2×0.5

m=4m…③
對(duì)于ab桿運(yùn)動(dòng)從靜止到達(dá)到最大速度的總過(guò)程，由動(dòng)能定理可得：
F′x+W-WA=

1

2

mv

2 m

…④
由①②③④得，W_A=F′x+W-

1

2

mv

2 m

=1.3×4+2.5-

1

2

×1×3.252J=2.42J
答：（1）4s末ab桿受到的安培力F_A的大小為0.8N；
（2）這段時(shí)間內(nèi)水平拉力F做的功2.5J；
（3）ab桿克服安培力做功W_A為2.42J

點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是會(huì)推導(dǎo)安培力的表達(dá)式，根據(jù)平衡條件、牛頓第二定律動(dòng)能定理和能量守恒研究電磁感應(yīng)現(xiàn)象，運(yùn)算量較大，有一定難度