Question

“神舟六號”載人飛船于2005年10月12日上午9點整在酒泉航天發射場發射升空．由長征運載火箭將飛船送入近地點為A、遠地點為B的橢圓軌道上，A點距地面的高度為h₁，飛船飛行五周后進行變軌，進入預定圓軌道，如圖所示．在預定圓軌道上飛行n圈所用時間為t，于10月17日凌晨在內蒙古草原成功返回．已知地球表面重力加速度為g，地球半徑為R．求：
（1）飛船在A點的向心加速度大�。�
（2）遠地點B距地面的高度．
（3）若已知地球同步衛星的軌道半徑為R₀，求“神舟六號”載人飛船在預定圓軌道上的運行速度與地球同步衛星的運行速度比值．

Answer 1

分析：（1）根據萬有引力公式以及黃金代換式GM=gR²，求出飛船在A點所受的合力，從而求出加速度．
（2）根據萬有引力提供向心力，

GMm

r2

=

m?4π2r

T2

，已知周期，求出軌道半徑，從而求出高度．
（3）根據萬有引力提供向心力表示出運行速度去進行比較．

解答：解：（1）飛船在A點所受的萬有引力F=

GMm

(R+h1)2

．
        由黃金代換式GM=gR²，得F=

gR2m

(R+h1)2

根據牛頓第二定律a=

F

m

=

gR2

(R+h1)2

（2）根據萬有引力提供向心力，

GMm

r2

=

m?4π2r

T2

，
T=

t

n

 由黃金代換式GM=gR²，
所以r=

3	gR2t2 4π2n2

故遠地點B距地面的高度為h₂=

3	gR2t2 4π2n2

-R
（3）根據萬有引力提供向心力F=

GMm

r2

=

mv2

r

．
v=

GM r

“神舟六號”載人飛船在預定圓軌道上的運行速度與地球同步衛星的運行速度比值：

v1

v2

=

R0 R+h2

=

R0 3 gR2t2 4π2n2

答：（1）飛船在A點的向心加速度大小是

gR2

(R+h1)2

；
（2）遠地點B距地面的高度是h₂=

3	gR2t2 4π2n2

-R．
  
（3）“神舟六號”載人飛船在預定圓軌道上的運行速度與地球同步衛星的運行速度比值是

R0 3 gR2t2 4π2n2

．

點評：解決本題的關鍵掌握黃金代換式GM=gR²，萬有引力提供向心力，

GMm

r2

=

m?4π2r

T2

．