Question

如圖所示，半徑為r的金屬圓環(huán)置于水平面內(nèi)，三條電阻均為R的導體桿Oa、Ob和Oc互成120°連接在圓心O和圓環(huán)上，圓環(huán)繞經(jīng)過圓心O的豎直金屬轉軸以大小為ω的角速度按圖中箭頭方向勻速轉動．一方向豎直向下的勻強磁場區(qū)與圓環(huán)所在平面相交，相交區(qū)域為一如圖虛線所示的正方形（其一個頂點位于O處）．C為平行板電容器，通過固定的電刷P和Q接在圓環(huán)和金屬轉軸上，電容器極板長為l，兩極板的間距為d．有一細電子束沿兩極板間的中線以大小為v₀（v0＞

2ωl

π

）的初速度連續(xù)不斷地射入C．
（1）射入的電子發(fā)生偏轉時是向上偏轉還是向下偏轉？
（2）已知電子電量為e，質(zhì)量為m．忽略圓環(huán)的電阻、電容器的充電放電時間及電子所受的重力和阻力．欲使射入的電子全部都能通過C所在區(qū)域，勻強磁場的磁感應強度B應滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）題中三個導體桿做切割磁感線，產(chǎn)生感應電動勢，根據(jù)右手定則判斷感應電動勢的方向，確定出兩金屬板電勢的高低，即可判斷電子的偏轉方向．
（2）電子進入電容器C后，某一導體棒也開始進入磁場，電子電子做類平拋運動，在水平方向不受電場力而做勻速直線運動，在豎直方向受到電場力而做勻加速運動；在沒有電場的時間內(nèi)豎直方向做勻速直線運動，根據(jù)牛頓第二定律和運動學公式結合求出電子在豎直方向的最大位移y，要使射入的電子全部都能通過電容器C，必須滿足的條件是y≤

d

2

，聯(lián)立可求出磁感應強度B的范圍．

解答：解：（1）根據(jù)右手定則判斷可知，三個導體桿產(chǎn)生的感應電動勢都指向O點，O點相當于電源的正極，則電容器上板電勢高于下板電勢，電場方向向下，故射入的電子發(fā)生偏轉時是向上偏轉．                         ①
（2）當導體桿處于磁場中時，感應電動勢 E=Br

.

v

②
導體桿轉動的平均速度

.

v

=

1

2

r?ω
所以，E=

1

2

Br2ω ③
此時，磁場中導體桿的電阻為內(nèi)電阻，其余的電阻為外電阻，電容器的電壓 U=

R/2

R+R/2

E=

1

3

E④
射入的電子在兩極板間運動　l=v₀t⑤
因為v0＞

2ωl

π

，所以t＜

π

2ω

⑥
而

π

2ω

就是每條導體桿在磁場中運動的時間，因此有部分電子在兩極板間運動的時間內(nèi)，極板間的電場始終存在，這部分電子在極板間的偏轉量最大．
設電子恰好能離開通過C，有

d

2

=

1

2

at2⑦
而　　　a=

eU

md

⑧
由以上各式得　B=

6m v 2 0 d2

eωr2l2

⑨
磁感強度B應滿足的條件是　B＜

6m v 2 0 d2

eωr2l2

⑩
答：
（1）射入的電子發(fā)生偏轉時向上偏轉．
（2）欲使射入的電子全部都能通過C所在區(qū)域，勻強磁場的磁感應強度B應滿足的條件是：B＜

6m v 2 0 d2

eωr2l2

．

點評：本題是電磁感應與電路、電場知識的綜合，關鍵是根據(jù)牛頓第二定律和運動學公式求出電子在豎直方向的最大位移y，可以運用v_y-t圖象分析電子在豎直方向的運動情況，便于理解．