Question

如圖所示，半徑為R的半圓軌道BC豎直放置．一個質量為m 的小球以某一初速度從A點出發，經AB段進入半圓軌道，在B點時對軌道的壓力為7mg，之后向上運動完成半個圓周運動恰好到達C點．試求：
（1）小球上升過程中克服阻力做功；
（2）小球從C點飛出后，觸地時重力的功率．

Answer 1

分析：（1）在B點，由軌道的支持力和重力的合力提供向心力，由牛頓第二定律求出小球經過B點的速度．小球恰好到達C點，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求出小球經過C點的速度．對于小球上升過程中，根據動能定理求解克服阻力做功；
（2）小球在C點飛出后做平拋運動，根據平拋運動的規律求出小球落地時豎直分速度，觸地時重力的功率等于重力與豎直分速度的乘積．

解答：解：（1）在B點，由軌道的支持力和重力的合力提供向心力，由牛頓第二定律得：
F_N-mg=m

v 2 B

R

由題意：F_N=7mg
解得：v_B=

6gR

在C點，由重力提供向心力，同理可得：
mg=m

v 2 C

R

   
解得：v_c=

gR

從B到C的過程，由動能定理得：
W_f-2mgR=

1

2

m

v

2 C

-

1

2

m

v

2 B

解得：W_f=-0.5mgR
故克服阻力做功為0.5mgR．
（2）小球在C點飛出后以v_C做平拋運動，設小球落地時豎直分速度大小為v，則根據平拋運動的規律得：
 豎直方向有：v²=2g?2R
得：v=2

gR

所以小球觸地時重力的功率為：P=mgv=2mg

gR

答：（1）小球上升過程中克服阻力做功是0.5mgR；
（2）小球從C點飛出后，觸地時重力的功率是2mg

gR

．

點評：本題關鍵先根據牛頓第二定律求解出B和C兩點速度，然后運用動能定理全程列式求解克服阻力做功．求重力的功率時要注意應用豎直分速度．