Question

“神舟六號”載人飛船于2005年10月12日成功發射升空，它標志著我國的載人飛船技術又進入了一個新的水平．“神舟六號”飛船的質量約為8000kg．飛船入軌后先是在近地點200km，遠地點350km的橢圓軌道上運行5圈，然后變軌到距地面340km的圓形軌道．試由以上數據解答下列問題：
（1）設飛船在橢圓軌道近地點的速度為v₁、在橢圓軌道遠地點的速度為v₂、在圓形軌道上的速度為v₃，則三個速度的大小關系為

v₁＞v₃＞v₂

．（用“＞”、“=”、“＜”表示．）
（2）求飛船進入圓形軌道運動后的動能．（設地球半徑為R=6400km，地球表面的重力加速度g=10m/s²，計算結果保留兩位有效數據）．

Answer 1

分析：（1）飛船在遠地點的勢能最大，動能最小，在近地點的勢能最小，動能最大．或根據開普勒定律分析．
（2）飛船在圓形軌道上，由萬有引力提供向心力，在地球表面上，物體所受的重力近似等于萬有引力，根據兩個關系分別列式，即可求出飛船進入圓形軌道后的動能．

解答：解：（1）根據開普勒第二定律可知，飛船在橢圓軌道近地點的速度大于遠地點的速度，即v₁＞v₂．
飛船到達遠地點要加速變軌進入圓形軌道，所以v₂小于以地心為圓心、遠地點所在圓軌道的速度，而根據公式v=

GM r

可知，此圓軌道的速度小于v₂．故有v₁＞v₃＞v₂．
（2）飛船質量為m，在圓形軌道上離地的高度為h，地球質量為M，由萬有引力提供向心力有：
G

mM

(h+R)2

=m

v 3 3

h+R

…①
在地球表面有：G

mM

R2

=mg…②
飛船進入圓形軌道后的動能為：E_k=

1

2

m

v

2 3

…③
解以上三個方程可得：E_k=

mgR2

2(R+h)

代入數據可得：E_k=2.4×10¹¹ J
答：（1）v₁＞v₃＞v₂．
（2）飛船進入圓形軌道運動后的動能為2.4×10¹¹J．

點評：本題考查動能和重力勢能的影響因素，要知道從近地點向遠地點運動的過程中，速度和高度的變化．對于衛星的圓周運動，要掌握常規思路：萬有引力等于向心力，在地球表面上，萬有引力等于重力．