Question

如圖所示，在x軸上方有水平向左的勻強電場E₁，在x軸下方有豎直向上的勻強電場E₂，且E₁=E₂=5N/C，在圖中虛線（虛線與y軸負方向成45°角）的右側和x軸下方之間存在著垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應強度B=2T．有一長L=5

2

m的不可伸長的輕繩一端固定在第一象限內的O'點，另一端拴有一質量M=0.1kg、帶電量q=+0.2C的小球，小球可繞O'點在豎直平面內轉動，OO'間距為L，與x軸正方向成45°角．先將小球放在O'正上方且繩恰好伸直的位置處由靜止釋放，當小球進入磁場前瞬間繩子繃斷．重力加速度g取10m/s²．求：
（1）小球剛進入磁場區域時的速度．
（2）細繩繃緊過程中對小球的彈力所做的功．
（3）小球從進入磁場到小球穿越磁場后第一次打在x軸上所用的時間及打在x軸上點的坐標．

Answer 1

分析：（1）小球由靜止釋放后，先沿電場力和重力的合力方向做勻加速直線運動，直到繩子繃直，繃直瞬間，小球沿繩子方向的速度突然減為零，以垂直于繩子方向的速度進入磁場．先由牛頓第二定律和運動學公式結合求出繩子繃緊前瞬間小球的速度，再將此速度分解得到垂直于繩子方向的分速度，由動能定理求解進入磁場時的速度．
（2）根據動能定理研究繩繃緊過程，求出細繩對小球的彈力所做的功．
（3）小球進入磁場后，由于qE₂=Mg，小球做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律求出半徑和周期，根據圓心角，求出小球在磁場中運動的時間．

解答：解：（1）小球先做勻加速直線運動，直到繩子繃直，設繩繃緊前瞬間速度為v，繩子剛繃緊后小球速度大小為v₂，進入有磁場的區域時速度的大小為v₃，
則   v²=2ax    
而   F_合=

2

mg=ma
又小球運動的位移為  x=

2

L 
繩子繃緊后：v₂=vcos45°
由動能定理：Mg?

2

2

L-qE₁（L-

2

2

L）=

1

2

M

v

2 3

-

1

2

M

v

2 2

聯立解得：v₃=10

2

m/s 
（2）設細繩繃緊過程中對小球的彈力所做的功為W，根據動能定理得
   W=

1

2

Mv

2 2

-

1

2

Mv2
解得，W=-5

2

J
（3）小球進入磁場后，由于qE₂=Mg，小球做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得
  qv₃B=m

v 2 3

R

得 R=

Mv3

qB

=

5 2

2

m，T=

2πM

qB

=

π

2

s
小球在運動半周后以v₃出磁場，做勻速直線運動直到打到x軸上
勻速運動的時間t=

2R

v3

，小球從進入磁場到小球穿越磁場后第一次打在x軸上運動的總時間
t_總=t+

T

2

=(0.5+

π

4

)S=1.3s
小球打到x軸上的位置坐標為（-10m，0）
答：
（1）小球剛進入磁場區域時的速度是10

2

m/s．
（2）細繩繃緊過程中對小球的彈力所做的功是-5

2

J．
（3）球從進入磁場到小球穿越磁場后第一次打在x軸上所用的時間是1.3s，打在x軸上點的坐標為（-10m 0）．

點評：本題小球在復合場中運動，分析受力情況，確定其運動情況是關鍵，與常規問題不同的地方是繩子繃緊瞬間小球的速度突變，沿繩子方向的速度立即減至零．