Question

如圖所示，在X軸上方有水平向左的勻強電場E₁，在X軸下方有豎直向上的勻強電場E₂，且E₁=E2=

mg

q

，在X軸下方的虛線（虛線與Y軸成45°）右側有垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應強度為B，有一長為L的輕繩一端固定在第一象限內的O′點，且可繞O′點在豎直平面內轉動，另一端拴有一質量為m的小球，小球帶電量為+q，OO′與X軸成45°，OO′的長度為L，先將小球放在O′正上方，從繩恰好繃直處由靜止釋放，當繩張緊瞬間沿繩方向分速度立刻減為零，而沿垂直繩方向的分速度不變．小球剛進入磁場時將繩子斷開．求：
（1）繩第一次繃緊后小球的速度大小；
（2）小球剛進入磁場區域時怕速度；
（3）小球從進入磁場到第一次打在X軸上經過的時間．

Answer 1

分析：（1）在繩沒有拉直之前，小球做的是勻加速直線運動，位移的大小為繩的長度，根據勻變速直線運動的規律可以求得運動的時間；
（2）當繩被拉直時，小球的沿著繩方向的速度變為零，只有垂直繩方向的速度的大小，之后再電場的作用下，小球加上運動，根據動能定理可以求得小球進入磁場是的速度的大小；
（3）小球在磁場中做的是圓周運動，根據圓周運動的周期公式可以求得小球的在磁場中運動的時間，小球離開磁場后，進入電場在做勻速直線運動，由此可以求得小球的運動的總時間．

解答：解：（1）小球一開始受到的合力為，做勻加速直線運動．
設繩子第一次剛拉直還沒有開始繃緊時小球的速度大小為v．
根據動能定理可得：

2

mg?

2

L=

1

2

mv²
解得：v=2

gL

．
（2）設繩子剛繃緊后小球速度大小為v₂，
則進入有磁場的區域時速度的大小為v₃，
則：v₂=vcos45°
根據動能定理可得：

2

mg?（1-cos45°）L=

1

2

m

v

2 3

-

1

2

m

v

2 2

聯立②③④式解得：
v₃=

2 2 gL

 
（3）帶電小球垂直于磁場邊界進入有磁場的區域，做勻速圓周運動，
設軌道半徑為r由牛頓第二定律可得：qv₃B=m

v 2 3

r

帶電小球運動半個圓周后，從磁場邊界射出有磁場的區域，然后做勻速直線運動，
設勻速直線運動的距離為d．
則，由幾何關系得：d=2r
設小球從進入有磁場的區域到第一次打在戈軸上經過的時間為t．
則：t=

πr

v3

+

d

v3

聯立⑥⑦⑧式解得：
t=

(π+2)m

qB

．

點評：電荷在勻強磁場中做勻速圓周運動，關鍵是畫出軌跡，由幾何知識求出半徑．定圓心角，求時間．