Question

如圖所示，半徑為R的光滑半圓環(huán)軌道豎直固定在一水平光滑的桌面上，桌距水平地面的高度也為R．在桌面上輕質(zhì)彈簧被a、b兩個(gè)小球擠壓（小球與彈簧不拴接），處于靜止?fàn)顟B(tài)．同時(shí)釋放兩個(gè)小球，小球a、b與彈簧在水平桌面上分離后，a球從B點(diǎn)滑上光滑半圓環(huán)軌道并恰能通過半圓環(huán)軌道最高點(diǎn)A，b球則從桌面C點(diǎn)滑出后落到水平地面上，落地點(diǎn)距桌子右側(cè)的水平距離為

5 2

R．已知小球a質(zhì)量為m，重力加速度為g．
求：（1）釋放后a球離開彈簧時(shí)的速度大小；
（2）釋放后b球離開彈簧時(shí)的速度大小；
（3）釋放小球前彈簧具有的彈性勢能．

Answer 1

分析：（1）小球a恰好能通過A點(diǎn)，重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解A點(diǎn)速度，然后根據(jù)機(jī)械能守恒定律求解a球剛離開彈簧時(shí)的速度；
（2）b球離開桌面后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律列式求解；
（3）彈簧彈開兩個(gè)球過程，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，總動(dòng)量也守恒，根據(jù)守恒定律列方程求解．

解答：解：（1）a球恰能通過半圓環(huán)軌道最高點(diǎn)A，故有：mg=m

v 2 A

R

；
a球從B運(yùn)動(dòng)到A過程中機(jī)械能守恒，固有：

1

2

m

v

2 B

=

1

2

m

v

2 A

+2mgR；
聯(lián)立解得：va=vB=

5gR

即釋放后a球離開彈簧時(shí)的速度大小為

5gR

；
（2）b球則從桌面C點(diǎn)滑出做平拋運(yùn)動(dòng)：
豎直分運(yùn)動(dòng)：h=

1

2

gt2
水平分運(yùn)動(dòng)：vC=

x

t

代入數(shù)據(jù)求得：vb=vc=

5gR

2

故釋放后b球離開彈簧時(shí)的速度大小為

5gR

2

；
（3）以ab與彈簧為研究對象，動(dòng)量守恒：0=mv_a-m_bv_b
解得：m_b=2m
彈簧的彈性勢能為：EP=

1

2

m

v

2 a

+

1

2

mb

v

2 b

解得
E_P=3.75mgR
故釋放小球前彈簧具有的彈性勢能為3.75mgR．

點(diǎn)評：本題關(guān)鍵明確兩個(gè)球各個(gè)過程中的運(yùn)動(dòng)情況，然后對分別運(yùn)用動(dòng)量守恒定律、機(jī)械能守恒定律、平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律列式求解．