Question

已知二次函數f(x)＝ax²＋bx＋c.

(1)若a>b>c，且f(1)＝0，試證明f(x)必有兩個零點；

(2)若對x₁，x₂∈R，且x₁<x₂，f(x₁)≠f(x₂)，方程f(x)＝[f(x₁)＋f(x₂)]有兩個不等實根，證明必有一實根屬于(x₁，x₂)．

Answer 1

證明：(1)∵f(1)＝0，∴a＋b＋c＝0.

又∵a>b>c，∴a>0，c<0，即ac<0.

又∵Δ＝b²－4ac≥－4ac>0，

∴方程ax²＋bx＋c＝0有兩個不等實根，

∴函數f(x)有兩個零點．

(2)令g(x)＝f(x)－[f(x₁)＋f(x₂)]，

則g(x₁)＝f(x₁)－[f(x₁)＋f(x₂)]＝[f(x₁)－f(x₂)]

g(x₂)＝f(x₂)－[f(x₁)＋f(x₂)]＝[f(x₂)－f(x₁)]，

∴g(x₁)g(x₂)＝[f(x₁)－f(x₂)]·[f(x₂)－f(x₁)]

＝－[f(x₁)－f(x₂)]².

∵f(x₁)≠f(x₂)，∴g(x₁)g(x₂)<0.

∴g(x)＝0在(x₁，x₂)內必有一實根．