Question

已知二次函數f(x)=ax2+bx+

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2

滿足f（1+x）=f（1-x）且方程f(x)=

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2

-x有等根
（1）求f（x）的表達式；
（2）若f（x）在定義域（-1，t]上的值域為（-1，1]，求t的取值范圍；
（3）是否存在實數m、n（m＜n），使f（x）定義域和值域分別為[m，n]和[2m，2n]，若存在，求出m、n的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中f （1+x）=f （1-x），可得f（x）的圖象關于直線x=1對稱，結合方程f （x）=x有等根其△=0，我們可構造關于a，b的方程組，解方程組求出a，b的值，即可得到f （x）的解析式；
（2）因為二次函數的對稱軸方程為x=1，且（1）中求出的二次函數開口向下，所以對t進行分類討論，當t≤1時，函數在（-1，t]上為增函數，函數的最大值為f（t），由f（t）=1求t的值，當1＜t＜3時，函數的最大值為f（1），看f（1）是否等于1，當t≥3時，函數有最小值，與題意不符；
（3）由（1）中函數的解析式，若f（x）的定義域和值域分別為[m，n]和[2m，2n]，我們分n≤1，m≥1，及m＜1、n＞1三種情況討論，根據函數在[m，n]的單調性，進而構造出滿足條件的方程，解方程即可得到答案．

解答：解：（1）∵f（x）滿足f（1+x）=f（1-x），∴f（x）的圖象關于直線x=1對稱．
而二次函數f（x）的對稱軸為x=-

b

2a

，∴-

b

2a

=1．①
又f（x）=

5

2

-x有等根，即ax²+（b+1）x-2=0有等根，∴△=（b+1）²+8a=0．②
由①，②得 b=1，a=-

1

2

．
∴f（x）=-

1

2

x²+x+

1

2

．
（2）∵函數f（x）=-

1

2

x²+x+

1

2

的對稱軸方程為x=1，
若t≤1，f（x）在（-1，t]上為增函數，此時f(-1)=-

1

2

(-1)2+(-1)+

1

2

=-1
由f(t)=-

1

2

t2+t+

1

2

=1，得：（t-1）²=0，∴t=1
若1＜t＜3，則f(x)max=f(1)=-

1

2

×12+1+

1

2

=1
若t≥3，f（x）_min=f（t），與題意不符
所以f（x）在定義域（-1，t]上的值域為（-1，1]的t的取值范圍是[1，3）．
（3）如果存在滿足要求的m，n（m＜n）使得f（x）定義域和值域分別為[m，n]和[2m，2n]，
那么當m＜n≤1時，有

f(m)=2m f(n)=2n

，即

- 1 2 m2+m+ 1 2 =2m - 1 2 n2+n+ 1 2 =2n

，解得：m=-1-

2

，n=-1+

2

當1≤m＜n時，有

f(m)=2n f(n)=2m

，即

- 1 2 m2+m+ 1 2 =2n - 1 2 n2+n+ 1 2 =2m

，次方程無解
當m＜1，n＞1時，由f（x）_max=f（1）=1=2n，得：n=

1

2

，不合題意，
所以存在實數m=-1-

2

，n=-1+

2

，使f（x）定義域和值域分別為[m，n]和[2m，2n]．

點評：本題考查考查了函數解析式的求解及常用方法，考查了函數定義域及值域的求法，重點考查了分類討論的數學思想，對于存在性問題可先假設其存在，然后推出正確的解答或得出矛盾．