Question

已知二次函數f(x)=ax2+bx+c，函數y=f(x)+

2

3

x-1的圖象過原點且關于y軸對稱，記函數 h(x)=

x

f(x)．
（I）求b，c的值；
（Ⅱ）當a=

1

10

時，求函數y=h(x)的單調遞減區間；
（Ⅲ）試討論函數 y=h（x）的圖象上垂直于y軸的切線的存在情況．

Answer 1

分析：（I）若函數的圖象經過原點，則常數項為0，若函數為偶函數，則函數的圖象關于y軸對稱，故不難求出b，c的值．
（II）當a=

1

10

時，結合（1）的結論不難給出函數導函數的解析式，確定導函數的符號易得函數的單調區間．
（III）如果函數圖象上存在垂直于y軸的切線，則切點處的導數為0，結合導數即可求解．

解答：解：（I）∵y=ax²+（b+

2

3

）x+c-1是偶函數，
∴b+

2

3

=0，b=-

2

3

，
又∵圖象過原點，
∴c=1，
∴b=-

2

3

，c=1，
（Ⅱ）當a=

1

10

時，h（x）=

x

（

1

10

x2-

2

3

x+1）
h′（x）=

1

2

x-

1

2

(

1

10

x2-

2

3

x+1)+

x

(

1

5

x-

2

3

)
=

1

2 x

(

1

10

x2-

2

3

x+1)
=

1

4 x

(x2-4x+2)
令f′（x）＜0得，
函數單調遞減區間是（2-

2

，2+

2

），
（III）∵函數h（x）的圖象上垂直于y軸的切線，
∴方程h′（x）=0存在正根，
h′（x）=

1

2

x-

1

2

（ax²-

2

3

x+1）+

x

（2ax-

2

3

）=

1

2 x

(5ax2-2x+1)
即5ax²-2x+1=0存在正根，△=4（1-5a）．
①當a＞

1

5

時，△＜0，方程5ax²-2x+1=0無實數根，
此時函數h（x）的圖象上沒有垂直于y軸的切線
②當a=

1

5

時，△=0，方程5ax²-2x+1=0根為x=1，
此時函數h（x）的圖象上存在一條垂直于y軸的切線
③當0＜a＜

1

5

時，△＞0，方程5ax²-2x+1=0有兩個實數根x₁，x₂，x₁+x₂=

2

a

＞0，x₁x₂=

1

a

＞0，方程5ax²-2x+1=0有兩個不等的正實數根
此時函數h（x）的圖象上有垂直于y軸的切線
④a＜0時，△＞0，方程5ax²-2x+1=0有且僅有一個正實數根，此時函數h（x）的圖象上存在一條垂直于y軸的切線
綜上：
當a＞

1

5

時，不存在垂直于y軸的切線
當a=

1

5

或a＜0時，存在一條垂直于y軸的切線
當0＜a＜

1

5

時，存在垂直于y軸的切線．

點評：本小題主要考查二次函數的性質、函數奇偶性的應用、導數的應用等基礎知識，考查待定系數法．待定系數法是求函數解析式的常用方法之一，當函數f（x）類型確定時，可用待定系數法．其解題步驟一般為：①根據函數類型設出函數的解析式（其中系數待定）②根據題意構造關于系數的方程（組）③解方程（組）確定各系數的值④將求出的系數值代入求出函數的解析式．