Question

已知二次函數f(x)=ax2+bx+1和g(x)=

bx-1

a2x+2b

（1）f（x）為偶函數，試判斷g（x）的奇偶性；
（2）若方程g（x）=x有兩個不相等的實根，當a＞0時判斷f（x）在（-1，1）上的單調性；
（3）當b=2a時，問是否存在x的值，使滿足-1≤a≤1且a≠0的任意實數a，不等式f（x）＜4恒成立？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據偶函數的定義可知f（-x）=f（x），可求出b的值，求出g（x）的定義域看是否對稱，然后根據奇偶性定義進行判定；
（2）g（x）=x有兩個不相等的實根可轉化成△＞0，可判定對稱軸的范圍，從而確定函數f（x）在（-1，1）上的單調性；
（3）不等式f（x）＜4恒成立可轉化成ax²+2ax-3＜0對于-1≤a≤1且a≠0時恒成立，建立不等式組，解之即可求出所求．

解答：解：（1）若f（x）為偶函數，有f（-x）=f（x）⇒b=0，則g（x）=

-1

a2x

，定義域為{x|x≠0}，且g（-x）=-g（x），所以g（x）為奇函數．
（2）由g（x）=x，整理得：a²x²+bx+1=0，且△=b²-4a²＞0?|

b

2a

|＞1，即

b

2a

＞1或

b

2a

＜-1，又f（x）得對稱軸為x=-

b

2a

所以當-

b

2a

＜-1時，f（x）在（-1，1）上為增函數；當-

b

2a

＞1時，f（x）在（-1，1）上為減函數．
（3）由f（x）＜4，即ax²+2ax+1＜4，有ax²+2ax-3＜0
由已知它對于-1≤a≤1且a≠0時上面不等式恒成立，則有

x2+2x-3＜0 -x2-2x-3＜0

解得：-3＜x＜1．

點評：本題主要考查了函數的奇偶性的判定，以及函數恒成立問題，同時考查了轉化的能力，屬于中檔題．