Question

【題目】棱長為1的正方體內部有一圓柱，此圓柱恰好以直線為軸.有下列命題：

①圓柱的母線與正方體所有的棱所成的角都相等；

②正方體所有的面與圓柱的底面所成的角都相等；

③在正方體內作與圓柱底面平行的截面，則截面的面積；

④圓柱側面積的最大值為.

其中正確的命題是______.

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

根據正方體的特性分析可知①②正確，作出一個與圓柱底面平行的截面，舉出反例得到③錯誤，利用幾何法找出圓柱的底面半徑，列式計算圓柱側面積，結合均值不等式計算得到④正確，得到答案.

如圖所示：易知圓柱的母線與平行，由正方體的對稱性可知與其每條側棱間的夾角都相等，①正確；

設分別為對應棱的中點，易知共面，

易證，，則平面，平面，故，同理可得，故平面，

又圓柱的底面與垂直，

故平面與圓柱的底面平行，

根據正方體的特點可知，平面與正方體所有側面的夾角相同，

故正方體所有的面與圓柱的底面所成的角都相等，②正確；

此時截面的面積為，③錯誤；

設圓柱底面半徑為，則圓柱的底面必與過點的三個面相切，

且切點分別在線段上，設在上的切點為，為圓柱的一條高，

根據對稱性知：，則圓柱的高為，

，

當，即時等號成立，④正確.

故答案為：①②④.