Question

已知函數f（x）=

2

x

+1．
（1）求f（x）的定義域；
（2）證明函數f（x）在（0，+∞）上是減函數．

Answer 1

分析：（1）根據分式須滿足分母不為零來求解；（2）用定義法證明．

解答：解：（1）要使函數有意義，須滿足x≠0，
所以函數的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）．
（2）設x₁，x₂是（0，+∞）上任意兩個實數，且x₁＜x₂，
則有f(x1)-f(x2)=

2

x1

+1-

2

x2

-1=

2(x2-x1)

x1x2

，
因為0＜x₁＜x₂，
所以x₂-x₁＞0，x₁•x₂＞0，即f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₁）＞f（x₂），
所以函數f（x）在（0，+∞）上是減函數．

點評：（1）考察函數定義域的求法，只有分式結構，較簡單．（2）考察函數單調性的證明，可以利用定義，也可利用導數．