Question

選修4-5：不等式選講
已知函數f（x）=2|x-2|-x+5，若函數f（x）的最小值為m
（Ⅰ）求實數m的值；
（Ⅱ）若不等式|x-a|+|x+2|≥m恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）可求得f（x）=

x+1，(x≥2) -3x+9，(x＜2)

，利用函數的單調性即可求得f（x）的最小值，從而可求得m；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知m=3，于是|x-a|+|x+2|≥3恒成立，利用絕對值不等式的幾何意義可求得|x-a|+|x+2|≥|a+2|，當且僅當（x-a）（x+2）≤0時等號成立，從而可求得實數a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=2|x-2|-x+5=

x+1，(x≥2) -3x+9，(x＜2)

，
顯然，函數f（x）在區間（-∞，2）上單調遞減，在區間[2，+∞）上單調遞增，
所以函數f（x）的最小值m=f（2）=3．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知m=3，|x-a|+|x+2|≥3恒成立，
由于|x-a|+|x+2|≥|（x-a）-（x+2）|=|a+2|，
等號當且僅當（x-a）（x+2）≤0時成立，
故|a+2|≥3，
解之得a≥1或a≤-5．
所以實數a的取值范圍為a≥1或a≤-5．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，掌握絕對值不等式的幾何意義是解決問題的關鍵，屬于中檔題．