Question

（2013•上海）已知函數f（x）=2-|x|，無窮數列{a_n}滿足a_n+1=f（a_n），n∈N^*
（1）若a₁=0，求a₂，a₃，a₄；
（2）若a₁＞0，且a₁，a₂，a₃成等比數列，求a₁的值
（3）是否存在a₁，使得a₁，a₂，…，a_n，…成等差數列？若存在，求出所有這樣的a₁，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意代入式子計算即可；
（2）把a₂，a₃表示為a₁的式子，通過對a₁的范圍進行討論去掉絕對值符號，根據a₁，a₂，a₃成等比數列可得關于a₁的方程，解出即可；
（3）假設這樣的等差數列存在，則a₁，a₂，a₃成等差數列，即2a₂=a₁+a₃，亦即2-a₁+|2-|a₁||=2|a₁|（*），分情況①當a₁＞2時②當0＜a₁≤2時③當a₁≤0時討論，由（*）式可求得a₁進行判斷；③當a₁≤0時，由公差d＞2可得矛盾；

解答：解：（1）由題意，代入計算得a₂=2，a₃=0，a₄=2；
（2）a₂=2-|a₁|=2-a₁，a₃=2-|a₂|=2-|2-a₁|，
①當0＜a₁≤2時，a₃=2-（2-a₁）=a₁，
所以a12=(2-a1)2，得a₁=1；
②當a₁＞2時，a₃=2-（a₁-2）=4-a₁，
所以a1(4-a1)=(2-a1)2，得a1=2-

2

（舍去）或a1=2+

2

．
綜合①②得a₁=1或a1=2+

2

．
（3）假設這樣的等差數列存在，那么a₂=2-|a₁|，
a₃=2-|2-|a₁||，由2a₂=a₁+a₃得2-a₁+|2-|a₁||=2|a₁|（*），
以下分情況討論：
①當a₁＞2時，由（*）得a₁=0，與a₁＞2矛盾；
②當0＜a₁≤2時，由（*）得a₁=1，從而a_n=1（n=1，2，…），
所以{a_n}是一個等差數列；
③當a₁≤0時，則公差d=a₂-a₁=（a₁+2）-a₁=2＞0，
因此存在m≥2使得a_m=a₁+2（m-1）＞2，
此時d=a_m+1-a_m=2-|a_m|-a_m＜0，矛盾．
綜合①②③可知，當且僅當a₁=1時，a₁，a₂，…，a_n，…成等差數列．

點評：本題考查數列的函數特性、等差關系等比關系的確定，考查分類討論思想，考查學生邏輯推理能力、分析解決問題的能力，綜合性強，難度較大．