Question

【題目】如圖，在三棱錐P﹣ABC中，AC＝BC，AB＝2BC，D為線段AB上一點，且AD＝3DB，PD⊥平面ABC，PA與平面ABC所成的角為45°．

（1）求證：平面PAB⊥平面PCD；

（2）求二面角P﹣AC﹣D的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）推導出AC⊥BC，CD⊥AD，PD⊥CD，從而CD⊥平面PAB，由此能證明平面PAB⊥平面PCD．
（2）以D為坐標原點，分別以DC，DB，DP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角P-AC-D的平面角的余弦值．

（1）證明：∵AC＝BC，AB＝2BC，

∴，

∴AB2＝AC2+BC2，∴AC⊥BC，

在Rt△ABC中，由AC＝BC，得∠CAB＝30°，

設BD＝1，由AD＝3BD，得AD＝3，BC＝2，AC＝2，

在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AD2+AC2﹣2ADACcos30°＝3，

∴CD＝，

∴CD2+AD2＝AC2，∴CD⊥AD，

∵PD⊥平面ABC，CD 平面ABC，

∴PD⊥CD，

又PD∩AD＝D，∴CD⊥平面PAB，

又CD 平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD．

（2）解：∵PD⊥平面ABC，

∴PA與平面ABC所成角為∠PAD，即∠PAD＝45°，

∴△PAD為等腰直角三角形，PD＝AD，

由（1）得PD＝AD＝3，以D為坐標原點，

分別以DC，DB，DP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，

則D（0，0，0），C（，0，0），A（0，﹣3，0），P（0，0，3），

＝（0，﹣3，﹣3），＝（），

則＝＝（0，0，3）是平面ACD的一個法向量，

設平面PAC的一個法向量＝（x，y，z），

則，取x＝，得＝（，﹣1，1），

設二面角P﹣AC﹣D的平面角為θ，

則cosθ＝＝，

∴二面角P﹣AC﹣D的平面角的余弦值為．