Question

【題目】己知函數(shù)，，.

（1）求函數(shù)的零點個數(shù)；

（2）若對任意恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）分離參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出的單調(diào)性，結(jié)合圖象，即可得出函數(shù)的零點個數(shù)；

（2）構(gòu)造函數(shù)，，分類討論的值，利用導(dǎo)數(shù)得出其單調(diào)性以及最值，即可得出的取值范圍.

解：（1）由題意，可知，∴不是的零點

當(dāng)時，令，整理得，

令，.則.

或；

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

即在處取得極小值.

∵，；，；，

∴函數(shù)大致圖象如下圖所示：

結(jié)合圖形可知：①當(dāng)，即時，無解，即無解，此時沒有零點，

②當(dāng)，即時，有1個解，此時有1個零點，

③當(dāng)，即時，有2個解，此時有2個零點，

④當(dāng)，即時，有3個解，此時有3個零點，

綜上所述，當(dāng)時，沒有零點；

當(dāng)時，有1個零點；

當(dāng)時，有2個零點；

當(dāng)時，有3個零點.

（2）在上恒成立

∴在上恒成立

令，

；，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則

令，，

當(dāng)時，，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增

即恒成立

當(dāng)時，；

則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增

在區(qū)間上恒成立

令，

在區(qū)間上單調(diào)遞增

，解得

綜上，