Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線與橢圓在第一象限內的交點是，且軸，.

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在斜率為的直線與以線段為直徑的圓相交于，兩點，與橢圓相交于，兩點，且？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在， 或

【解析】

（1）由題意，先設，，得到，根據，求出，，再由點在橢圓上，得到，求解，即可得出結果；

（2）先假設存在斜率為的直線，設為，由（1）得到以線段為直徑的圓為，根據點到直線距離公式，以及圓的弦長公式得到，聯立直線與橢圓方程，根據韋達定理與弦長公式，得到，再由求出，即可得出結果.

（1）設，，

由題意，得

因為

解得，則，

又點在橢圓上，所以，解得.

所以橢圓E的方程為；

（2）假設存在斜率為的直線，設為，

由（1）知，，

所以以線段為直徑的圓為.

由題意，圓心到直線的距離，得.

，

由消去y，

整理得.

由題意，，

解得，又，所以.

設，

則

，

若，

則

整理得，

解得，或.

又，所以，即.

故存在符合條件的直線，其方程為，或.