Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（，t為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求直角坐標(biāo)系下直線與曲線的普通方程；

（2）設(shè)直線與曲線交于點(diǎn)、（二者可重合），交軸于，若，求的值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）在直線的參數(shù)方程中消去參數(shù)可得出直線的普通方程，在曲線的極坐標(biāo)方程兩邊同時(shí)乘以，結(jié)合可將曲線的極坐標(biāo)方程化為普通方程；

（2）將直線的參數(shù)方程代入到曲線的直角坐標(biāo)方程，由結(jié)合韋達(dá)定理求得實(shí)數(shù)的值，可判斷出直線與曲線相切，由此可得出的大小.

（1）由消去參數(shù)得直線的普通方程為.

由得，因?yàn)?/span>，

曲線的直角坐標(biāo)方程為，即；

（2）設(shè)點(diǎn)、的對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為、，

將直線的參數(shù)方程代入到曲線的直角坐標(biāo)方程得①，

，解得或.

當(dāng)時(shí)，方程①為，，此時(shí)直線與曲線相切；

當(dāng)時(shí)，方程①為，，此時(shí)直線與曲線相切.

因此，.