Question

已知

a

，

b

，

c

是同一平面內的三個向量，其中

a

=(1， 2)．
（Ⅰ）若|

b

|=3

5

，且

b

∥

a

，求

b

的坐標；
（Ⅱ）若

c

與

a

的夾角θ的余弦值為-

5

10

，且(

a

+

c

)⊥(

a

-9

c

)，求|

c

|．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可設

b

=λ

a

=(λ， 2λ)，結合向量的模長可得λ的值，進而可得答案；
（Ⅱ）由題意可得

a

•

c

=|

a

||

c

|cosθ=-

1

2

|

c

|，|

a

|2-8

c

•

a

-9|

c

|2=0，綜合可解得|

c

|的值．

解答：解：（Ⅰ）∵

b

∥

a

，可設

b

=λ

a

=(λ， 2λ)，…（1分）
則|

b

|2=λ2+4λ2=45，解得λ²=9…（2分）
∴λ=±3，∴

b

=(3， 6)．或

b

=(-3， -6)．…（3分）
（Ⅱ）∵cosθ=-

5

10

，|

a

|=

5

，∴

a

•

c

=|

a

||

c

|cosθ=-

1

2

|

c

|．                             …（4分）
又∵(

a

+

c

)⊥(

a

-9

c

)，∴(

a

+

c

)•(

a

-9

c

)=0…（5分）
∴|

a

|2-8

c

•

a

-9|

c

|2=0，∴5+4|

c

|-9|

c

|2=0…（6分）
解得|

c

|=1或|

c

|=-

5

9

（舍）
∴|

c

|=1…（7分）

點評：本題考查向量的夾角和向量的平行，屬中檔題．