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精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
已知A，B，C是同一平面上不共線的三點，且
AB
•
AC
=
BA
•
BC
．
（1）求證：∠CAB=∠CBA；
（2）若
AB
•
AC
=2，求A，B兩點之間的距離．
分析：（1）由題意可得：
AB
=
AC
-
BC
，因為
AB
(
AC
+
BC
)=0，所以(
AC
-
BC
)•(
AC
+
BC
)=0，進而得到答案．
（2）直接根據向量的數量積結合余弦定理即可求出結論．
解答：解：（1）因為在△ABC中，
所以
AB
=
AC
-
BC
．
又因為△ABC中，
AB
•
AC
=
BA
•
BC
，即
AB
(
AC
+
BC
)=0，
所以(
AC
-
BC
)•(
AC
+
BC
)=0，
所以|
AC
|=|
BC
|．
∴∠CAB=∠CBA；
（2）設AB=b，AC=BC=a，
∴
AB
•
AC
=abcosA=ab•
a2+b2-a2
2ab
=
b2
2
=2；
∴b=2．
故A，B兩點之間的距離為：2．
點評：本題考查向量的三角形法則與利用向量的數量積運算求向量的模以及余弦定理的應用．是對知識的綜合考查．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知
a
、
b
、
c
是同一平面內的三個向量，其中
a
=（1，2）
（1）若|
c
|=2
5
，且
c
∥
a
，求
c
的坐標；
（2）若|
b
|=
5
2
，且2
a
+
b
與
a
-3
b
垂直，求
a
與
b
的夾角θ．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知
a
，
b
，
c
是同一平面內的三個向量，其中
a
=（1，-2）．
（1）若|
c
|=2
5
，且
c
∥
a
，求向量
c
的坐標；
（2）若|
b
|=
2
，且
a
+
b
與
a
-2
b
垂直，求
a
與
b
的夾角θ的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知
a
，
b
，
c
是同一平面內的三個向量，其中
a
=(1， 2)．
（Ⅰ）若|
b
|=3
5
，且
b
∥
a
，求
b
的坐標；
（Ⅱ）若
c
與
a
的夾角θ的余弦值為-
5
10
，且(
a
+
c
)⊥(
a
-9
c
)，求|
c
|．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知
a
、
b
、
c
是同一平面內的三個單位向量，它們兩兩之間的夾角均為120°，且|k
a
+
b
+
c
|＞1，則實數k的取值范圍是（　　）

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同步練習冊答案
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