Question

已知

a

、

b

、

c

是同一平面內的三個向量，其中

a

=（1，2）
（1）若|

c

|=2

5

，且

c

∥

a

，求

c

的坐標；
（2）若|

b

|=

5

2

，且2

a

+

b

與

a

-3

b

垂直，求

a

與

b

的夾角θ．

Answer 1

分析：（1）根據

c

∥

a

，可設

c

=λ

a

=（λ，2λ），根據|

c

|=2

5

以及向量模的公式可求出向量

c

的坐標；
（2）根據2

a

+

b

與

a

-3

b

垂直，則（2

a

+

b

）•（

a

-3

b

）=0，再根據數量積公式求出

a

•

b

的值，最后根據cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a || b |

可求出

a

與

b

的夾角θ．

解答：解：（1）∵

c

∥

a

，
∴設

c

=λ

a

=λ（1，2）=（λ，2λ），
∴|

c

|=

λ2+4λ2

=2

5

，
∴λ=±2，
∴

c

=（2，4）或

c

=（-2，-4）；
（2）∵2

a

+

b

與

a

-3

b

垂直，
∴（2

a

+

b

）•（

a

-3

b

）=0，
即2

a

2-5

a

•

b

-3

b

2=0，
∵|

a

|=

5

，|

b

|=

5

2

，
∴2×5-5

a

•

b

-3×

5

4

=0，即

a

•

b

=

5

4

，
∴cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a || b |

=

5 4

5 × 5 2

=

1

2

，
則θ=＜

a

，

b

＞=

π

3

．

點評：本題主要考查了向量的數量積，平行垂直的應用等，熟練掌握向量共線定理和模的計算公式、向量垂直與數量積的關系等是解題的關鍵．屬于基礎題．