Question

（本小題滿分14分）設橢圓C₁的方程為(a＞b＞0)，曲線C₂的方程為y=，且曲線C₁與C₂在第一象限內只有一個公共點P。（1）試用a表示點P的坐標；（2）設A、B是橢圓C₁的兩個焦點，當a變化時，求△ABP的面積函數S(a)的值域；（3）記min{y₁,y₂,……,y_n}為y₁,y₂,……,y_n中最小的一個。設g(a)是以橢圓C₁的半焦距為邊長的正方形的面積，試求函數f(a)=min{g(a), S(a)}的表達式。

Answer 1

(Ⅰ) ().  (Ⅱ) S(a)的值域為(0,) （Ⅲ）S(a)}

（1）將y=代入橢圓方程，得化簡，得b²x⁴–a²b²x²+a²=0
由條件，有Δ=a⁴b⁴–4a²b²=0，得ab=2解得x=或x=–（舍去）
故P的坐標為().
(2)∵在△ABP中，｜AB｜=2，高為,∴
∵a＞b＞0,b=∴a＞,即a＞,得0＜＜1
于是0＜S（a）＜，故△ABP的面積函數S(a)的值域為(0,)
(3)g(a)=c²=a²–b²=a²–解不等式g(a)≥S(a)，即a²–≥
整理，得a⁸–10a⁴+24≥0，即(a⁴–4)(a⁴–6)≥0
解得a≤（舍去）或a≥.故f(a)=min{g(a), S(a)}