Question

如圖，有一正方形鋼板ABCD缺損一角（圖中的陰影部分），邊緣線OC是以直線AD為對稱軸，以線段AD的中點O為頂點的拋物線的一部分．工人師傅要將缺損一角切割下來，使剩余的部分成為一個直角梯形．若正方形的邊長為2米，問如何畫切割線EF，可使剩余的直角梯形的面積最大？并求其最大值．

Answer 1

以O為原點，直線AD為y軸，建立如圖所示的直角坐標系，依題意可設拋物線弧OC的方程為y=ax²（0≤x≤2）
∵點C的坐標為（2，1），
∴2²a=1，a=

1

4

故邊緣線OC的方程為y=

1

4

x2(0≤x≤2)．
要使梯形ABEF的面積最大，則EF所在的直線必與拋物線弧OC相切，設切點坐標為P(t，

1

4

t2)(0＜t＜2)，
∵y′=

1

2

x，
∴直線EF的方程可表示為y-

1

4

t2=

1

2

t(x-t)，即y=

1

2

tx-

1

4

t2，
由此可求得E(2，t-

1

4

t2)，F(0，-

1

4

t2)．
∴|AF|=|-

1

4

t2-(-1)|=1-

1

4

t2，|BE|=|(t-

1

4

t2)-(-1)|=-

1

4

t2+t+1，
設梯形ABEF的面積為S（t），則S(t)=

1

2

|AB|•[|AF|+|BE|]=(1-

1

4

t2)+(-

1

4

t2+t+1)=-

1

2

t2+t+2=-

1

2

(t-1)2+

5

2

≤

5

2

．
∴當t=1時，S(t)=

5

2

．，
故S（t）的最大值為2.5．此時|AF|=0.75，|BE|=1.75．
答：當AF=0.75m，BE=1.75m時，可使剩余的直角梯形的面積最大，其最大值為2.5m²．