Question

【題目】已知函數，.

（1）求的單調區間；

（2）設曲線與軸正半軸的交點為，曲線在點處的切線方程為，求證：對于任意的實數，都有；

（3）若方程為實數）有兩個實數根，，且，求證：.

Answer 1

【答案】（1）單調遞增區間為，單調遞減區間為；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）求出原函數的導函數，求和的解，即可求出函數的單調性；

（2）設出點的坐標，利用導數求出切線方程，構造函數，利用導數得到對于任意實數，有，即對任意實數，都有；

（3）由（2）知，，求出方程的根，由在上單調遞減，得到.同理得到，則可證得結果..

（1）解：由，可得.

當時，，函數單調遞增；

當時，，函數單調遞減.

的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

（2）證明：設點的坐標為，，則，，

曲線在點處的切線方程為，即，

令函數，即，

則，在R上單調遞減.

，當時，；當，時，，

在上單調遞增，在，上單調遞減，

對于任意實數，，即對任意實數，都有；

（3）證明：由（2）知，，設方程的根為，可得.

在上單調遞減，又由（2）知，

因此.

類似地，設曲線在原點處的切線方程為，可得，

對于任意的，有，即.

設方程的根為，可得，

在上單調遞增，且，

因此，

由此可得.