Question

【題目】已知數列的前n項和為，，若是公差不為0的等差數列，且．

（1）求數列的通項公式；

（2）證明：數列是等差數列；

（3）記，若存在，（），使得成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）根據已知條件求得和數列的公差，由此求得數列的通項公式.

（2）由（1）得到，進而得到數列是常數列，求得數列的通項公式，進而證得數列是等差數列.

（3）先求得的表達式，然后求得的表達式，對進行分類討論，結合數列的單調性，求得的取值范圍.

（1）設等差數列的公差為d，因為，所以．

由得，，即，

因為，所以，從而．

（2）由（1）知，，

即有， ①

所以， ②

②-①得，，整理得．

兩邊除以得，，

所以數列是常數列．

所以，即，

所以，

所以數列是等差數列．

（3）因為，所以，

所以．

因為，

當時，．

顯然，

①若，則恒成立，

所以，即，

所以單調遞減，所以不存在；

②若，則恒成立，

所以，即，

所以單調遞減，所以不存在；

③若，則，所以當，成立，

所以存在．

④若，則．

當，且時，，單調遞增；

當，且時，，單調遞減，

不妨取，則．

綜上，若存在，使得成立，則的取值范圍是.