Question

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數方程是（為參數，），在以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸的極坐標系中，曲線的極坐標方程是，等邊的頂點都在上，且點，，按照逆時針方向排列，點的極坐標為.

（Ⅰ）求點，，的直角坐標；

（Ⅱ）設為上任意一點，求點到直線的距離的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）點的直角坐標為，點的直角坐標為，點的直角坐標為.

（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由點的極坐標和，，的排列順序，得到點和點的極坐標，再由求出，，的直角坐標即可；

（Ⅱ）由點和點的坐標可得直線的方程，設點，由點到直線距離公式表示出點到直線的距離，再由輔助角公式和三角函數的性質得到的取值范圍即可.

（Ⅰ）由題意，等邊的頂點都在上，

且點，，按照逆時針方向排列，點的極坐標為，

所以點的極坐標，點的極坐標，

由，

可得點的直角坐標為，

點的直角坐標為，

點的直角坐標為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，

所以得的直線方程為：，

設點，

則點到直線的距離為

，

因為，所以，

所以，

.