Question

【題目】已知橢圓：的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成面積為的等腰直角三角形.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）直線：與橢圓相交于，兩點，試問：在軸上是否存在點，使得為等邊三角形，若存在，求直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在；直線的方程為.

【解析】

（1）由橢圓兩焦點與短軸的一個端點的連線構成面積為的等腰直角三角形，可得和橢圓標準方程．

（2）由（1）可知橢圓方程，把直線代入橢圓方程，消得，由韋達定理和弦長公式表示出，再由韋達定理和點（由的垂直平分線方程中令x=0求得）到直線距離求得,然后令，解出，再檢驗判別式，寫出直線的方程.

（1）依題意得：，解得

所以橢圓的標準方程為.

（2）假設在軸上存在點，使為等邊三角形，設，，

線段的中點為，則，

把代入

并整理得，，

則，

解得.

又，

所以，，，即.

則直線的方程為，

即，

令，則，即，

所以，又，

即解得，滿足題意.

所以在軸上存在點，使為等邊三角形，且直線的方程為.