Question

【題目】已知橢圓： 的離心率為，以原點為圓心，橢圓的長半軸為半徑的圓與直線相切.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知點， 為動直線與橢圓的兩個交點，問：在軸上是否存在點，使為定值？若存在，試求出點的坐標和定值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）定點為， .

【解析】試題分析：（Ⅰ）由e=，以原點O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線相切，求出a，b，由此能求出橢圓的方程．

（Ⅱ）由，得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，由此利用韋達定理、向量的數量積，結合已知條件能求出在x軸上存在點E，使為定值，定點為（）．

試題解析：

（Ⅰ）由e=，得=，即c=a，①

以原點O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓為x2+y2=a2，

此圓與直線2x﹣+6=0相切，∴a==，

代入①得c=2，（4分）

∴b2=a2﹣c2=2，∴橢圓的方程為．

（Ⅱ）由，得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，（6分）

設A（x1，y1），B（x2，y2），∴，，

根據題意，假設x軸上存在定點E（m，0），使得為定值，

則有=（x1﹣m，y1）（x2﹣m，y2）=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2

=

=（k2+1）

=（k2+1）﹣（2k2+m）+（4k2+m2）

=，

要使上式為定值，即與k無關，則應有3m2﹣12m+10=3（m2﹣6），

即m=，此時=為定值，定點為（）．