Question

【題目】三棱錐中，底面滿足，，在面的射影為的中點(diǎn)，且該三棱錐的體積為，當(dāng)其外接球的表面積最小時，P到面ABC的距離為_______.

Answer 1

【答案】3

【解析】

設(shè)AB＝a，棱錐的高為h，根據(jù)體積得出a與h的關(guān)系，根據(jù)勾股定理得出外接球半徑R關(guān)于h的表達(dá)式，利用基本不等式得出R最小值時對應(yīng)的h的值即可．

解：設(shè)AC的中點(diǎn)為D，連接BD，PD，則PD⊥平面ABC，

∵△ABC是等腰直角三角形，∴外接球的球心O在PD上，

設(shè)AB＝BC＝a，PD＝h，外接球半徑OC＝OP＝R，

則OD＝，CDACa，

∵VP﹣ABC，∴a2，

∵CD2+OD2＝OC2，即（h﹣R）2a2＝R2，

∴R3，

當(dāng)且僅當(dāng)即h＝3時取等號，

∴當(dāng)外接球半徑取得最小值時，h＝3．

故答案為：3．