Question

【題目】已知橢圓：的右焦點為，短軸長為2，過定點的直線交橢圓于不同的兩點、（點在點，之間）.

（1）求橢圓的方程；

（2）若，求實數的取值范圍；

（3）若射線交橢圓于點（為原點），求面積的最大值.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) ;(3)

【解析】

(1)根據橢圓的基本量之間的關系求解即可.

(2)分直線斜率存在于不存在兩種情況,當斜率存在時,聯立方程利用韋達定理與從而找到韋達定理與的不等式再求解即可.

(3) 的面積為的兩倍,故求得面積最值即可.

(1)因為右焦點為,故.又短軸長為2,故,解得

故橢圓的方程：

(2)當直線斜率不存在時, 直線,此時,故,此時,

當直線斜率存在時,設直線,.聯立直線與橢圓

有,此時,.

.

又,即 ,故

又即,

又因為,故,即,故

有基本不等式,故計算得

,又,故

綜上

(3) ,

令 ,則

故面積的最大值為