Question

【題目】已知拋物線C; y2 =2x的焦點為F，準線為l， P為拋物線C上異于頂點的動點.

（1）過點P作準線1的垂線，垂足為H，若△PHF與△POF的面積之比為2：1，求點P的坐標；

（2）過點M(，0)任作一條直線 m與拋物線C交于不同的兩點A， B.若兩直線PA， PB 斜率之和為2，求點P的坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）求得拋物線的焦點和準線，設，，由三角形的面積公式可得，解方程可得，進而可得的坐標；

（2）設直線的方程為，，聯立拋物線的方程，消去，可得的二次方程，設，，，，運用韋達定理和判別式大于0，再由直線的斜率公式，化簡整理可得，的方程，由恒成立思想可得，進而得到所求的坐標，

解：（1）拋物線的焦點為，，準線為，

設，，由，可得，

由，與的面積之比為，可得，

即為，解得，則的坐標為，；

（2）設直線的方程為，，聯立拋物線方程可得，

由△，即，，設，，，，

可得，，

則，

化為，

即，可得對滿足條件的恒成立，

可得，則的坐標為，．