Question

設等比數列{a_n}的首項為a₁=2，公比為q（q為正整數），且滿足3a₃是8a₁與a₅的等差中項；等差數列{b_n}滿足2n²-（t+b_n）n+

3

2

bn=0（t∈R，n∈N^*）．
（Ⅰ）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ） 若對任意n∈N^*，有a_nb_n+1+λa_na_n+1≥b_na_n+1成立，求實數λ的取值范圍；
（Ⅲ）對每個正整數k，在a_k和a _k+1之間插入b_k個2，得到一個新數列{c_n}．設T_n是數列{c_n}的前n項和，試求滿足T_m=2c_m+1的所有正整數m．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由3a₃是8a₁與a₅的等差中項得到6a₃=8a₁+a₅，根據首項2和公比q，利用等比數列的通項公式化簡這個式子即可求出q的值，利用首項和公比即可得到通項公式；由2n²-（t+b_n）n+

3

2

b_n=0解出b_n，列舉出b₁，b₂和b₃，要使數列{b_n}為等差數列，根據等差數列的性質可知b₁+b₃=2b₂，把b₁，b₂和b₃的值代入即可求出t的值，即可得到結論；
（Ⅱ）分離參數，確定其單調性，即可求實數λ的取值范圍；
（Ⅲ）顯然c₁=c₂=c₃=2，容易判斷m=1時不合題意，m=2適合題意，當m大于等于3時，得到c_m+1必是數列{a_n}中的某一項a_k+1，然后根據T_n=2c_m+1列舉出各項，利用等差、等比數列的求和公式化簡后得到2^k=k²+k-1，把k=1，2，3，4，代入等式得到不是等式的解，利用數學歸納法證明得到k大于等于5時方程沒有正整數解，所以得到滿足題意的m僅有一個解m=2．

解答：解：（Ⅰ）由題意，∵3a₃是8a₁與a₅的等差中項
∴6a₃=8a₁+a₅，則6q²=8+q⁴，解得q²=4或q²=2
∵q為正整數，∴q=2，
又a₁=2，∴an=2n------（3分）
∵2n²-（t+b_n）n+

3

2

bn=0
∴b_n=

2n2-tn

n- 3 2

∴b₁=2t-4，b₂=16-4t，b₃=12-2t，
則由b₁+b₃=2b₂，得t=3
當t=3時，b_n=2n．----------（6分）
（Ⅱ）∵a_nb _n+1+λa_na _n+1≥b_na_n+1，∴λ≥

n-1

2n

．
記k_n=

n-1

2n

，當n≥2時，

kn+1

kn

≤1，得k_n=

n-1

2n

單調減，----------（8分）
又k₁=0，所以λ≥k2=

1

4

---------（10分）
（Ⅲ）∵對每個正整數k，在a_k和a _k+1之間插入b_k個2，得到一個新數列{c_n}，
∴當k=1時，a₁=2，b₁=2，即數列{c_n}的前項為c₁=c₂=c₃=2，
則m=1時，T₁=2c₂不合題意，當m=2時，T₂=2c₃適合題意，
當m≥3時，若后添入的數2等于c_m+1個，則一定不適合題意，從而c_m+1必是數列{a_n}中的某一項a_k+1，
則（2+2²+2³+…+2^k）+2（b₁+b₂+b₃+…+b_k）=2×2^k+1，
即2×（2^k-1）+

(2+2k)k

2

×2=2×2^k+1，即2^k+1-2k²-2k+2=0．
也就是2^k=k²+k-1，
k=1，2，3，4不是該方程的解，而當n≥5時，2ⁿ＞n²+n-1成立，證明如下：
1°當n=5時，2⁵=32，k²+k-1=29，左邊＞右邊成立；
2°假設n=k時，2^k＞k²+k-1成立，
當n=k+1時，2^k+1＞2k²+2k-2=（k+1）²+（k+1）-1+k²-k-3
≥（k+1）²+（k+1）-1+5k-k-3=（k+1）²+（k+1）-1+k+3（k-1）＞（k+1）²+（k+1）-1
這就是說，當n=k+1時，結論成立．
由1°，2°可知，2ⁿ＞n²+n-1（n≥5）時恒成立，故2^k=k²+k-1無正整數解．
綜上可知，滿足題意的正整數僅有m=2．

點評：本題考查學生靈活運用等差數列的性質及等比數列的通項公式化簡求值，考查靈活運用數列解決實際問題，以及會利用數學歸納法進行證明，屬于難題．