Question

【題目】已知函數的定義域為，其圖象關于點中心對稱，其導函數為，當時， ，則不等式的解集為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】由題意設g（x）=（x+1）f（x），
則g′（x）=f（x）+（x+1）f′（x），
∵當x＜-1時，（x+1）[f（x）+（x+1）f′（x）]＜0，
∴當x＜-1時，f（x）+（x+1）f′（x）＞0，
則g（x）在（-∞，-1）上遞增，
∵函數f（x）的定義域為R，其圖象關于點（-1，0）中心對稱，
∴函數f（x-1）的圖象關于點（0，0）中心對稱，
則函數f（x-1）是奇函數，
令h（x）=g（x-1）=xf（x-1），
∴h（x）是R上的偶函數，且在（-∞，0）遞增，
由偶函數的性質得：函數h（x）在（0，+∞）上遞減，
∵h（1）=f（0），∴不等式xf（x-1）＞f（0）化為：h（x）＞h（1），
即|x|＜1，解得-1＜x＜1，
∴不等式的解集是（-1，1），
故答案為：（-1，1）．